Le partite a tennis: chi è il più bravo?

L’attività che vi propongo¹ potrebbe essere utilizzata per sviluppare o potenziare il ragionamento proporzionale e, a seconda dei casi, può essere il primo passo in tale direzione oppure può costituirne un secondo, di ulteriore indagine o di verifica, qualora si sia per esempio già affrontata la situazione problematica del miscuglio di colori, illustrata nel mio precedente contributo. Anche questa volta si suppone comunque che gli alunni non abbiano ancora avuto alcuna “spiegazione” da parte dell’insegnante sulla proporzionalità diretta e siano dunque ancora alla ricerca della procedura più adatta per affrontare situazioni di questo tipo.

Il contesto problematico che vi propongo qui si sviluppa in tre passi successivi, che potrebbero essere svolti in collaborazione (anche a distanza), prevedendo poi una discussione (anche virtuale) di classe, a conclusione della raccolta degli esiti dei vari gruppi, oppure anche assegnati come attività individuale a casa, per poi discuterne i risultati (anche a distanza).

È importante, in ogni caso, cioè in presenza o a distanza, che la condivisione e discussione degli esiti avvenga solo dopo il terzo passo, proprio perché l’incertezza della procedura adottata possa sempre costituire una spinta a riflettere sulle scelte fatte, eventualmente per rivederle o modificarle. Può essere utile, per l’insegnante, avere a disposizione le schede per un’eventuale attività a distanza: basterà inviarle agli studenti, chiedere di compilarle e poi commentare i risultati insieme, attraverso un qualsiasi ambiente di condivisione.

La prima situazione da esplorare è molto semplice e il testo è il seguente:

È evidente che per rispondere non è fondamentale l’uso del rapporto; infatti, volutamente, i dati numerici assegnati danno la possibilità di adottare più strategie risolutive: per esempio Carlo, poiché è l’unico che vince più di quanto perde ($28$ è più della metà di $52$), è senza dubbio il più bravo. 

Accade che molti rispondano adeguatamente, affermando che Carlo è il migliore fra i giocatori proposti, proprio accorgendosi che è l’unico giocatore a vincere più della metà delle partite che gioca. È frequente anche il confronto tra partite vinte e perse di ciascun giocatore, che interpreta in un altro modo, peraltro equivalente al precedente, la situazione proposta. 

Dalle risposte degli studenti si può comunque constatare se qualcuno ricorra spontaneamente a un confronto di rapporti, eventualmente anche a seguito della discussione effettuata in relazione al problema del miscuglio di colori. A volte alcuni si riferiscono esplicitamente a rapporti, confrontando le percentuali di partite vinte da ciascun giocatore rispetto al totale delle partite giocate: in questo caso risulta evidente come il ragionamento proporzionale sia già a un buon livello di sviluppo. 

Ovviamente alcuni potrebbero dare risposte scorrette, argomentandole in modo non adeguato; per esempio potrebbe essere ritenuto più bravo Dario, perché è il giocatore che ha vinto più partite. I due momenti successivi hanno proprio l’obiettivo di mettere in dubbio le eventuali risposte non adeguate. Il secondo passo che propongo richiede un’interpretazione, nello stesso contesto, di “giocatori ugualmente bravi” e questo consente di ripensare alla strategia cui ognuno ha fatto riferimento nell’affrontare il problema precedente, accorgendosi eventualmente della sua adeguatezza o mettendola in dubbio. Il compito è il seguente:

Per trovare i dati mancanti, gli studenti potrebbero notare per esempio che le partite vinte da Enzo sono proprio la metà di quelle vinte da Claudio e quindi riproporre questa regolarità per le partite giocate, oppure che le partite giocate da Anna sono una volta e mezza quelle giocate da Claudio e quindi mantenere la stessa regolarità per le partite vinte. Ci si aspetta in ogni modo che alcuni alunni sottraggano il numero di partite vinte da quello delle partite giocate e mantengano tale differenza nei casi successivi, ritenendo ugualmente bravi due giocatori con lo stesso numero di sconfitte. È proprio con l’obiettivo di far riflettere su questa strategia scorretta, quella del ricorso a differenze costanti, che si è rivelata molto efficace, di solito, la proposta di un terzo passo, attraverso il compito seguente:

Anche in questa circostanza la scelta dei dati non è casuale: completata la tabella come richiesto, si può notare che Bice ha uno stesso numero di vittorie e di sconfitte, mentre Enzo gioca il doppio delle partite giocate da Ada ma le sue vittorie sono ben $34$ e questo potrebbe favorire argomentazioni per concludere che i giocatori della tabella non possono essere considerati ugualmente bravi, confutando così la strategia del ricorso a differenze costanti.

Per tre giocatori non è fornito alcun dato, così da lasciare agli alunni la possibilità di proporre casi particolarmente significativi, in cui per esempio si utilizzino numeri abbastanza alti e per i quali sia dunque evidente il “diverso peso” delle $30$ partite perse sul totale. Questo momento di riflessione sulla strategia scorretta considerata è sempre risultato molto efficace, anche per chi avesse già risposto bene al passo precedente. La discussione sul confronto di strategie consente a tutti gli alunni di comprendere come sia importante conoscere le motivazioni che giustificano la correttezza di una procedura per una data situazione problematica, avendo dunque a disposizione argomentazioni ed esempi opportuni per confutare strategie non adeguate.

¹L’esempio delle partite a tennis è stato studiato a lungo ed è reperibile, oltre che nel Capitolo 9 (pagg. 108-112) del mio testo “I suggerimenti della ricerca in didattica della matematica per la pratica scolastica”, 2015, anche in una precedente versione, in un altro mio testo “Lo sviluppo del ragionamento proporzionale nella discussione di classe”, edito da Pitagora nel 2002.