La situazione problematica che qui vi descrivo1 è adatta a una scuola secondaria di primo grado e si è dimostrata molto efficace nell’introdurre il pensiero proporzionale: il ricorso alla costanza dei rapporti nasce come strategia necessaria per affrontare le questioni proposte sui miscugli di colore e si contrappone a un uso inappropriato del ricorso a una strategia di differenze costanti. L’attività è particolarmente adatta a essere affrontata in modalità collaborativa, anche a distanza, poiché richiede spesso argomentazioni e riflessioni non banali, anche in fase di discussione collettiva. Ovviamente si dovrebbe collocare l’attività quando ancora il ragionamento proporzionale sia in costruzione, così che la discussione possa essere genuina e non fare ancora riferimento a regolarità già acquisite.
Il testo del problema è il seguente.
Si devono dipingere di verde tre pannelli di dimensioni diverse e si hanno a disposizione barattoli tutti uguali, di colore giallo e blu. I pannelli devono avere tutti la stessa tonalità di colore.
MARCO ha dipinto il primo pannello utilizzando un miscuglio ottenuto con $4$ barattoli di blu e $6$ barattoli di giallo.
LUISA deve dipingere il secondo pannello: per ottenere la stessa tonalità di colore e avendo a disposizione $10$ barattoli di blu, di quanti barattoli di giallo ha bisogno?
PIERO, per il terzo pannello, ha $3$ barattoli di giallo: di quanti barattoli di blu ha bisogno?
Prima di rispondere colloca i dati nella seguente tabella, poi rifletti e completa la tabella:
| BARATTOLI di BLU | BARATTOLI di GIALLO | |
| MARCO | ||
| LUISA | ||
| PIERO |
Spiega il tuo ragionamento per completare la tabella:
per LUISA …………………………………………….
per PIERO …………………………………………………
Può essere utile, per l’insegnante, avere a disposizione la scheda per un’eventuale attività a distanza: basterà inviare agli studenti la scheda, chiedere di compilarla e poi commentare i risultati insieme, attraverso un qualsiasi ambiente di condivisione.
Si è scelto un problema sui miscugli di colore essendo abbastanza intuitiva l’idea di “uguale tonalità di colore” e soprattutto perché si tratta di un contesto molto familiare ad alunni di $11$-$12$ anni.
La scelta dei dati non è casuale: notate, per esempio, che il numero dei barattoli di giallo a disposizione di Piero è esattamente la metà di quelli usati per dipingere il primo pannello.
La situazione proposta dà luogo, di solito, a due diversi procedimenti risolutivi, uno (scorretto) basato sulla differenza e l’altro (corretto) sul rapporto: alcuni alunni, notando la differenza tra il numero dei barattoli blu e quelli gialli di Marco, ritengono essenziale mantenere invariata tale differenza anche nei casi di Luisa e Piero; altri alunni, invece, intuiscono che è basilare mantenere costante il rapporto tra i numeri. Tale rapporto può essere visto “in riga”, cioè tra il numero dei barattoli di blu e quello dei barattoli di giallo, o “in colonna”, ossia tra il numero dei barattoli del medesimo colore utilizzati per dipingere i pannelli.
In ogni caso gli studenti si mostrano in grado di scegliere una strategia e, poiché si richiede anche di spiegare verbalmente il ragionamento che li ha guidati a rispondere, è possibile trovare traccia scritta dei loro processi mentali: sono, ovviamente, più o meno corretti ma sono comunque preziosi per una condivisione e discussione collettiva, dopo l’attività collaborativa.
Di solito la maggioranza degli allievi, proprio perché il ragionamento proporzionale non è ancora sviluppato, utilizza una scorretta strategia additiva: osservato cioè che la differenza tra i barattoli di giallo e quelli di blu usati da Marco è $2$, impone la stessa regolarità nei casi di Luisa e di Piero, trovando così che a Luisa occorrono $12$ barattoli di giallo e a Piero $1$ di blu.
Accade sempre, però, che alcuni alunni ricorrano esplicitamente a buone strategie intuitive che preludono al ragionamento proporzionale, concludendo correttamente che a Luisa occorrono $15$ barattoli di giallo e a Piero $2$ di blu.
Gli studenti che rispondono in modo adeguato possono per esempio fare riferimento a rapporti “in riga” sulla tabella proposta, che qui è utile riportare completa dei dati assegnati:
| BARATTOLI di BLU | BARATTOLI di GIALLO | |
| MARCO | $4$ | $6$ |
| LUISA | $10$ | |
| PIERO | $3$ |
Alcuni notano che i barattoli blu di Marco sono i $\frac{2}{3}$ di quelli gialli, o che quelli gialli sono i $\frac{3}{2}$ di quelli blu oppure che i barattoli gialli sono una volta e mezza quelli blu e impongono la stessa regolarità anche per Luisa e Piero. Ciò che risulta di solito molto interessante sono le motivazioni che, durante il confronto e la discussione delle due differenti strategie risolutive, gli studenti riescono a proporre, a volte con argomentazioni originali ed efficaci.
Per contestare per esempio il ricorso a differenze costanti è accaduto che qualcuno chiedesse “Ma se la tua strategia è di aggiungere o togliere $2$, come fai se hai $2$ barattoli di blu?… Se Piero aveva $2$ barattoli di giallo, come fa? Cioè i barattoli blu dovrebbero essere $0$… non viene verde…”.
Il ricorso a questa situazione “limite” si è verificata frequentemente nelle sperimentazioni di questo problema e costituisce senza dubbio una riflessione significativa: può accadere che questo tipo di argomentazione non abbia un seguito immediato, cioè non venga subito compresa o condivisa, però ogni volta essa lascia una traccia importante, che può emergere in momenti successivi.
Un altro tipo di motivazione che emerge spesso per contrastare in modo efficace la soluzione delle differenze costanti e che dà luogo a sviluppi interessanti è la seguente: se il pannello di Marco richiedesse $12$ barattoli di giallo, è evidente che per avere la stessa tonalità di verde avrei bisogno di $8$ barattoli di blu, così da avere lo stesso verde…. ma la differenza tra $12$ e $8$ è $4$, non $2$… dunque la strategia di mantenere costante la differenza tra i barattoli non può funzionare.
Ciò che in ogni caso risulta evidente è che gli studenti di $11$-$12$ anni sono in grado di effettuare questo tipo di esperimenti mentali, dando luogo dunque a un gioco di ipotesi astratto: non hanno bisogno di provare (anzi, una prova pratica di miscugli di colori non risulterebbe, a mio parere, altrettanto efficace!) ma propongono e sviluppano modelli aritmetici in collegamento alla situazione reale assegnata e riescono a discutere se un modello sia o meno adatto a “leggere” tale situazione, nel nostro caso dunque avendo sempre in mente l’obiettivo di ottenere la stessa tonalità di verde.
A conclusione della discussione non è detto che tutti siano convinti che la strategia del ricorso a rapporti costanti sia la più opportuna: è l’insegnante, ovviamente, che sceglie di lasciare in sospeso la discussione e affrontare un ulteriore problema di proporzionalità in un altro momento (il problema che proporrò nel successivo intervento è in questa direzione) oppure ritiene che sia già opportuno sintetizzare esplicitamente alla classe quali siano le strategie corrette proposte.
1 L’esempio dei miscugli di colore è stato studiato a lungo ed è reperibile, oltre che nel Capitolo 9 (pagg. 101-107) del mio testo “I suggerimenti della ricerca in didattica della matematica per la pratica scolastica”, 2015, anche in una precedente versione, in un altro mio testo “Lo sviluppo del ragionamento proporzionale nella discussione di classe”, edito da Pitagora nel 2002.