I concetti fondamentali della matematica sono molti; fra questi, quello di funzione è forse uno dei più importanti, anche per le molteplici applicazioni pratiche nei campi più svariati.
Nelle prassi didattiche è introdotto il concetto di relazione come un procedimento che, dati due insiemi $X$ e $Y$, permette di associare ad alcuni (o a tutti) gli elementi dell’insieme $X$ uno o più elementi dell’insieme $Y$. Vengono poi definite le funzioni come quelle particolari relazioni che, dati due insiemi $X$ e $Y$, associano a ogni elemento di $X$ uno e un solo elemento di $Y$. Si presentano quindi vari esempi nell’ambito degli insiemi numerici e vari esempi tratti dalla realtà che possano essere rappresentati da funzioni.
In classe seguo questo tipo di approccio in particolare per le funzioni lineari, ma poi trovo utile per favorire e consolidare il concetto di funzione attuare anche un procedimento inverso a completamento di quello usuale.
Per esempio chiedo inizialmente alle studentesse e agli studenti di individuare la funzione $f\left( x\right)$ che rappresenta il costo complessivo del noleggio di un pullman per una visita didattica in relazione al numero di km percorsi $x$, considerando un costo unitario per km (per esempio $3$ euro) e un costo fisso di noleggio (per esempio $200$ euro).
L’espressione analitica della funzione corrispondente è:
$f\left( x\right) =3x+200$
Il costo complessivo del noleggio del pullman dipende dal (è funzione del) numero di chilometri $x$ (variabile indipendente).
Poi pongo $y=f\left( x\right)$ (equazione della funzione): $y$ rappresenta la variabile dipendente.
Approfitto per far notare alla classe come il costo del noleggio del pullman non sia proporzionale ai chilometri percorsi (pur aumentando o diminuendo se il numero di chilometri rispettivamente aumenta o diminuisce) in quanto è presente il fattore aggiuntivo $200$ che altera la proporzionalità.
Chiedo alla classe di calcolare il costo complessivo del noleggio del pullman per un percorso totale di $50$ km e per uno di $100$ km:
$f\left( 50\right) =3\cdot 50+200=350$ $f\left( 100\right) =3\cdot 100+200=500$
Considero poi alcuni esercizi tratti dal testo scolastico (Tutti i colori della Matematica vol. $1$, es. $16$ pag. $449$, es. $49$ pag. $451$) che svolgo insieme alla classe utilizzando la LIM.
Data la funzione $f\left( x\right) =2x-8$, calcola $f\left( -\dfrac{1}{2}\right) $.
Traccia approssimativamente il grafico di ciascuna delle seguenti funzioni:
$y=x+2$ $y=3x-4$
Poi cambio la funzione e riporto in un’unica consegna i due tipi di esercizi precedenti chiedendo alla classe di svolgerli.
Data la funzione $f\left( x\right) =4x-5$, determina $f\left( 2\right)$, $f\left( 0\right)$ e rappresenta graficamente la funzione.
Dopo aver svolto e controllato l’esercizio
$f\left( 2\right) =4\cdot 2-5=3$ $f\left( 0\right) =4\cdot 0-5=-1$
stimolo la classe a fare un lavoro diverso per interiorizzare meglio il concetto di funzione:
Considera la funzione
$f\left( x\right) =4x-5$ o $y=4x-5$
Che cosa potrebbe rappresentare nella realtà la funzione? A cosa potrebbe corrispondere $x$? A cosa $y$? Che significato potrebbero avere il coefficiente $4$ e il termine noto $-5$?
Si tratta di una domanda stimolo chiuso-risposta aperta che sollecita la creatività e la riflessione matematica di studentesse e studenti, in accordo con l’idea di Benedetto Vertecchi secondo il quale lo scopo di una prova sia di provocare allieve e allievi perché rivelino ciò che sanno fare, cioè perché manifestino, in un modo apprezzabile da un osservatore, ciò che costituisce il risultato di un’attività interna, com’è l’apprendimento. E il maggior indicatore dell’avvenuto apprendimento di un concetto è la sua trasposizione in contesti diversi, soprattutto se reali.
Alcuni tentativi che cercano di ricalcare l’esempio precedente si sono dimostrano errati per la presenza del segno meno, quindi ho invitato a pensare a qualcosa di diverso. Questo tipo di esercitazione è infatti utile anche per smussare la tendenza di ricercare ostinatamente una procedura risolutiva già consolidata in classe (la cui valenza è stata illustrata in un altro articolo).
Una studentessa di prima liceo scientifico ha ipotizzato che $f\left( x\right)$ possa rappresentare il costo totale della frutta quando si compra a cassette intere. Spiega che le è venuto in mente perché la madre (di altri $4$ figli) compra la frutta in questo modo e lei si è sempre chiesta dove potesse risiedere la convenienza se alla fine si paga anche la cassetta. Invece, continua la studentessa, in questo caso poi dal costo totale si toglie quello della cassetta ($-5$ euro).
Quindi $f\left( x\right)$ può rappresentare il costo netto di una cassetta di frutta considerato un costo unitario al chilogrammo di $4$ euro.
La classe si è chiesta perché si sottrae proprio $5$ euro per la cassetta. Uno studente ha risposto che in realtà la cassetta è gratuita ma evidentemente pesa $1,25$ kg e, considerata nel computo della frutta a $4$ €/kg, incide nel costo finale proprio di $4\cdot 1,25=5$ euro.
Dopo aver lasciato il tempo necessario affinché tutte le studentesse e gli studenti si convincano di come questo esempio di realtà sia ben rappresentato dalla funzione proposta, si può far esercitare la classe ad analizzare la correttezza delle varie proposte offerte da un chat bot a seguito dello stesso stimolo di espressione analitica di funzione, come una sorta di interpretazione umana dell’AI.
Di seguito riporto l’esercitazione svolta dalla stessa classe (il primo prompt è stato scritto da me, le altre interazioni sono delle studentesse e degli studenti).
Prompt
Buongiorno, data la funzione $y=4x-5$, mi aiuti a individuare un esempio di realtà quotidiana che sia rappresentato da questa relazione?
Risposta AI
Buongiorno! Sarò felice di aiutarti a trovare un esempio pratico della funzione lineare $y=4x-5$.
Un esempio di realtà quotidiana potrebbe essere il costo di un servizio di taxi.
Immaginiamo un servizio di taxi che applica una tariffa fissa di partenza di $5$ euro e poi addebita $4$ euro per ogni chilometro percorso. In questo caso:
• $x$ rappresenta il numero di chilometri percorsi
• $y$ rappresenta il costo totale della corsa in euro
Quindi:
• costo totale $=4\times$ (chilometri percorsi) $-5$
Quando partiamo ($x=0$ km), il costo è $y=4\times 0-5=-5$ euro, che non ha senso nella realtà. Questo significa che il nostro modello è valido solo per distanze superiori a $1,25$ km (quando $y$ diventa positivo).
Per esempio:
• per $2$ km: costo $= 4\times 2-5=3$ euro
• per $5$ km: costo $= 4\times 5-5=15$ euro
• per $10$ km: costo $= 4\times 10-5=35$ euro
Ti sembra un esempio chiaro? Posso proporti anche altre situazioni reali se preferisci.
Prompt
Ma se $y$ deve rappresentare il costo totale della corsa e $5$ il costo fisso di partenza, che senso ha togliere poi il costo di partenza direttamente al costo dei km?
Risposta AI
Hai perfettamente ragione, il mio esempio contiene un errore di logica. Se $5$ rappresenta un costo fisso di partenza, questo dovrebbe essere aggiunto e non sottratto.
Correggo l’esempio: per un servizio di taxi, la funzione dovrebbe essere:
costo totale $=$ Tariffa fissa $+$ (Tariffa al km $\times$ chilometri percorsi)
Quindi se la tariffa fissa è $5$ euro e la tariffa al chilometro è $4$ euro, la funzione corretta sarebbe: $y=5+4x$.
Ciò non corrisponde alla funzione $y=4x-5$ che dobbiamo esemplificare.
Un esempio più appropriato per la funzione $y=4x-5$ potrebbe essere:
Immaginiamo un negozio che vende frutta a peso con una politica di sconto. Il prezzo delle mele è $4$ euro al chilogrammo, ma il negozio offre uno sconto fisso di $5$ euro sul totale per chi acquista una certa quantità minima:
• $x$ rappresenta i chilogrammi di mele acquistati
• $y$ rappresenta il prezzo finale in euro
Quindi:
• prezzo finale $=4\times$ (chilogrammi di mele) $-5$
In questo caso, l’acquisto diventa conveniente quando si acquistano più di $1,25$ kg di mele (quando $y$ diventa positivo). Grazie per avermi fatto notare l’errore nel mio esempio precedente!
Prompt
L’esempio della frutta è quasi ok, ma è strano che se acquisto un kg di frutta è il negoziante poi a pagarmi $25$ centesimi. Un esempio che leghi $5$ sempre a un peso in kg? Per esempio se la frutta fosse pesata in una cassetta ma io devo pagare solo le arance.
Qui il chat bot non risponde, cambia completamente esempio. Lo studente ha utilizzato due termini: arance e frutta e il chat bot non risponde. Si analizza questo con la classe (il chat bot considera il significato letterale delle parole, frutta è generico, la cassetta contiene anche arance evidentemente, ma quanti kg di arance non è possibile capirlo dai dati indicati).
Risposta AI
Ecco altri esempi pratici della funzione $y=4x-5$:
1. Produzione di energia solare:
• $x=$ numero di ore di luce solare al giorno
• $y=$ guadagno netto giornaliero in euro
• $4=$ guadagno per ogni ora di sole ($4$ €/ora)
• $5=$ costo fisso giornaliero di manutenzione dell’impianto. Il guadagno netto diventa positivo dopo più di $1,25$ ore di sole.
2. Viaggio in taxi con sconto per clienti fedeli:
• $x=$ distanza percorsa in chilometri
• $y=$ costo totale in euro
• $4=$ tariffa per chilometro ($4$ €/km)
• $5=$ sconto fisso per i clienti con tessera fedeltà. Il costo è conveniente rispetto alla tariffa standard per tutti i viaggi.
3. Vendita di biglietti per uno spettacolo:
• $x=$ numero di biglietti venduti
• $y=$ profitto in euro
• $4=$ guadagno netto per biglietto ($4$ €/biglietto)
• $5=$ costo fisso per l’affitto della sala. L’evento diventa redditizio dopo aver venduto più di $1,25$ biglietti.
4. Prestazione lavorativa di un consulente:
• $x=$ ore di lavoro
• $y=$ compenso netto in euro
• $4=$ tariffa oraria ($4$€/ora)
• $5=$ spese fisse per trasporto fino al cliente. Il consulente inizia a guadagnare dopo $1,25$ ore di lavoro.
5. Consumo d’acqua in condominio:
• $x=$ metri cubi d’acqua consumati
• $y=$ costo mensile in euro
• $4=$ tariffa per metro cubo ($4$ €/m$^{3}$)
• $5=$ sconto condominiale fisso. Applicabile a tutti i condomini indipendentemente dal consumo.
In tutti questi esempi, la funzione $y=4x-5$ mostra un rapporto lineare dove per ogni unità di $x$ si aggiungono $4$ unità a $y$, con una costante negativa di $-5$ che sposta la retta verso il basso.
Analizzare gli esempi proposti dal chat bot stimola molto la classe, che manifesta l’interesse impegnandosi notevolmente ad analizzare l’adeguatezza dei casi proposti dall’intelligenza artificiale. L’attività offre un’occasione per esercitarsi ad argomentare le molteplici considerazioni fatte in merito e aiuta a consolidare il concetto di funzione. Inoltre, notare come alcuni esempi non siano corretti orienta studentesse e studenti a non fidarsi completamente di quanto elaborato da un chat bot (evitando eventuali copia-incolla acritici).
Un utilizzo umanamente intelligente dell’intelligenza artificiale è possibile solo se si possiedono delle conoscenze e competenze di base rispetto all’argomento che si affronta con un chat bot e soprattutto se si possiede un pensiero critico sulla materia in questione, così da cogliere come opportunità quanto di corretto propone l’intelligenza artificiale, ampliando le possibili risposte umane ed eliminando quanto di sbagliato offra. Il fatto che (per ora) i chat bot possano fornire produzioni errate, oltre a focalizzare l’attenzione più sui processi che sui prodotti, smussa un poco la paura di sbagliare quando si affrontano, come in questo caso, domande aperte attraverso uno stimolo chiuso. E, magari, induce anche studentesse e studenti a criticare meno (fra loro) noi docenti quando incappiamo in qualche umano lapsus in classe!