Quali problemi proporre per le attività in collaborazione?

In due miei precedenti articoli vi ho illustrato due modelli collaborativi per l’insegnamento e apprendimento della matematica: i gruppi collaborativi e il tutoraggio fra pari.

Ma quali problemi conviene proporre per le attività in collaborazione? La domanda potrebbe sembrare inutile ma voi insegnanti sapete bene che la scelta di problemi con alcune specifiche caratteristiche può essere determinante nel successo di un’attività didattica da svolgere in modalità di collaborazione fra pari. Prima di delineare, in sintesi, le tipologie di situazioni che a mio parere sono molto produttive quando siano affrontate a coppie o in gruppi collaborativi, vorrei richiamare ciò che da tempo si condivide sulla centralità di un insegnamento della matematica che privilegi il risolvere e il porsi problemi (problem solving e problem posing): a partire da Polya, negli anni ‘70 del secolo scorso, e poi nel seguito, per esempio con gli studi di Pellerey (1979) e Zan (1998), si è ampiamente riconosciuto come siano attività specifiche del genere umano proprio il porsi e risolvere problemi, attività che rendono significativo l’apprendimento della matematica e che sono sempre strettamente connesse con le convinzioni, la sensibilità e le emozioni di chi le affronta¹.

Risulta dunque evidente che i problemi scelti dall’insegnante devono rispondere alle esigenze del percorso didattico che ha progettato ma devono anche essere adeguati alla modalità di interazione che ha scelto per i suoi alunni e alle caratteristiche del suo gruppo classe, così da determinarne un effettivo coinvolgimento. A questo proposito le attuali Indicazioni Nazionali per il curricolo del primo ciclo di istruzione propongono un’idea di laboratorio matematico molto suggestiva e indicano di fatto come esso deve essere progettato, proprio perché lo definiscono come “… momento in cui l’alunno è attivo, formula le proprie ipotesi e ne controlla le conseguenze, progetta e sperimenta, discute e argomenta le proprie scelte, impara a raccogliere dati, negozia e costruisce significati, porta a conclusioni temporanee e a nuove aperture la costruzione delle conoscenze personali e collettive” (Gazzetta Ufficiale 5 febbraio 2013, pag. 51).

La realizzazione di un tale laboratorio di matematica (richiamato anche nelle indicazioni ministeriali per la secondaria di secondo grado) non può che essere l’esito di un intreccio opportuno tra una scelta oculata di questioni su cui indagare e una modalità interattiva non casuale ma ben strutturata, ad esempio l’attività a coppie o in gruppi collaborativi, come ho illustrato nei precedenti interventi.

Ecco allora, in base alle esperienze svolte e studiate, quando un problema è adatto a essere affrontato in gruppi collaborativi; ricordiamo che in ogni gruppo ci sono 5 alunni (dunque un insieme piuttosto ampio di risorse!) che contribuiscono alla soluzione e al buon esito del lavoro, sia dal punto di vista matematico che interpersonale:

• l’argomento su cui indagare dovrebbe essere aperto a diverse piste di indagine: per esempio quando si richiede la formulazione e dimostrazione di una proposizione in geometria, aritmetica o algebra, eventualmente già nota (come il Teorema di Pitagora) ma proponibile in modi differenti;
  
• gli strumenti tecnici a disposizione sono ridotti e non ancora codificati in formule: per esempio quando si inizia ad affrontare la risoluzione di un’equazione di secondo grado senza ancora disporre della formula risolutiva ma facendo leva sul significato aritmetico della relazione di uguaglianza, proposta in situazioni opportune (come $x^2+2=0$ oppure $x^2-4x=0$ ecc.) oppure ricorrendo all’interpretazione grafica con le parabole, costruendo passo passo la ben nota formula risolutiva generale;
  
• si affronta un problema nuovo e abbastanza complesso, perché questo consente di dare spazio a strategie originali e personali: per esempio quando si chiede di individuare, con qualche giustificazione, la relazione di Eulero sul numero di vertici, facce e spigoli di un poliedro ($F+V=S+2$) a partire dall’esplorazione di modelli a disposizione degli alunni;
  
• l’argomento è già noto agli studenti ma occorre richiamarlo alla memoria perché affrontato molto tempo prima: invece di chiedere genericamente alla classe cosa sia, per esempio, una rappresentazione in un grafico cartesiano, tema già affrontato in anni precedenti, si può organizzare un compito di gruppo che permetta di far riemergere termini specifici, proprietà e definizioni.
  

Un problema adatto, invece, al tutoraggio fra pari, modalità particolarmente idonea nel recupero di competenze presenti solo in una parte della classe, dovrà necessariamente riflettere le esigenze messe in luce da tale situazione di non padronanza su specifici contenuti o procedure e quindi sarà formulato di conseguenza: il suggerimento è quello di cambiare comunque contesto al problema proposto, così da evitare, in ogni caso, il ricorso ad analogie senza che ci sia una piena comprensione dei significati in gioco.

Nel mio successivo contributo proporrò con maggior dettaglio alcuni problemi da svolgere in collaborazione, che potrebbero essere adatti sia a un’attività a coppie oppure a un lavoro a gruppi più ampi, in relazione, ovviamente, sia alla fascia d’età di riferimento sia al progetto didattico che si sta implementando in classe.

¹ Per dettagli circa l’importanza dell’attività sui problemi nell’insegnamento della matematica si veda il Capitolo 8 del mio testo “I suggerimenti della ricerca in didattica della matematica per la pratica scolastica”, 2015.

Riferimenti bibliografici

Pellerey M., 1979, Ruolo dei problemi nell’apprendimento della matematica, L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, Vol. 2 n. 1, 62-73

Zan R., 1998, Problemi e convinzioni, Pitagora

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