Percentuali come operatori moltiplicativi: proviamo a invertirli?

Percentuali come operatori moltiplicativi: proviamo a invertirli?

Le attività che sto proponendo sull’argomento “rapporti e percentuali” proseguono questa volta con l’attenzione all’aspetto di operatore moltiplicativo collegabile al concetto di percentuale, così come esso è collegabile anche al concetto di frazione: come accade dunque nel caso di una frazione, per esempio $\frac{3}{4}$, che può essere considerata sia nel suo aspetto numerico (per esempio è compresa tra $0$ e $1$) sia nel suo aspetto di operatore (calcolo i $\frac{3}{4}$ di un numero), lo stesso accade per una percentuale.

È qualcosa che ho già sottolineato ma che mi sembra importante richiamare, perché in molte occasioni ho rilevato che questo duplice aspetto, se non è completamente dominato dagli studenti nel caso delle frazioni, si può dire lo sia ancor meno nel caso delle percentuali. In questo secondo ambiente la situazione è forse resa più complessa da abitudini non ancora scomparse (cioè affrontare la percentuale come applicazione delle proporzioni, in modo molto staccato dal concetto di proporzionalità diretta) ma anche da motivi linguistici che ostacolano a volte il procedere correttamente quando sono in gioco percentuali. Non è banale arrivare a “Interpretare una variazione percentuale di una quantità data come una moltiplicazione per un numero decimale”, come citano le Indicazioni Ministeriali tra gli obiettivi di apprendimento a conclusione della scuola secondaria di primo grado, se non si costruisce bene il processo per far comprendere per esempio come da un aumento percentuale, che richiama subito una somma, si passi invece a moltiplicare. E questo passo risulta poi fondamentale per affrontare problemi inversi in questo contesto. È quanto vedremo a partire da questo articolo e soprattutto in quello successivo.

L’attività che propongo ora si riferisce a una situazione familiare, riproducibile non solo in classe ma adatta anche a un’attività in modalità asincrona, eventualmente in collaborazione (in presenza o a distanza) tra più compagni. Ovviamente le risposte e le argomentazioni di ognuno saranno poi oggetto di discussione guidata da voi insegnanti, in modalità sincrona, con la successiva condivisione delle osservazioni emerse. Per poter svolgere anche a distanza l’attività vi rendo disponibile la scheda, che potrete condividere con i vostri studenti su una qualsiasi piattaforma.

La fotografia
Valentina ha ritagliato da un giornale una bella fotografia del suo gruppo preferito.
La fotografia ha dimensioni $12$ cm x $20$ cm.

1. Usando la fotocopiatrice, Valentina vuole ingrandire la fotografia in modo che nell’ingrandimento la dimensione minore sia di $24$ cm. Per ottenere l’ingrandimento desiderato Valentina scrive sulla fotocopiatrice $200$%. Spiega perché. Quanto sarà lunga la dimensione maggiore?
2. Valentina prova a fare una copia della fotografia scrivendo sulla fotocopiatrice $80$%. Secondo te che cosa ottiene?
3. Anche Camilla vuole un ingrandimento della fotografia ma desidera che nel suo ingrandimento la dimensione maggiore sia di $24$ cm. Che cosa dovrà scrivere Camilla sulla fotocopiatrice per ottenere l’ingrandimento desiderato? Quale sarà la lunghezza della dimensione minore?
4. Le due amiche decidono di preparare anche due fotocopie rimpicciolite della fotografia da attaccare sul diario. Vogliono che il lato maggiore nella riduzione sia lungo $5$ cm. Che cosa dovranno scrivere le due ragazze sulla fotocopiatrice per ottenere le copie desiderate? Quanto sarà lungo il lato minore?

La situazione problematica è semplice ma non banale ed è finalizzata al potenziamento della capacità di individuare e applicare rapporti opportuni utilizzando percentuali. Occorre inoltre saper riconoscere l’esistenza di una similitudine tra ogni fotocopia e l’originale e saper esprimere il rapporto di similitudine in forma percentuale. Dopo le due attività proposte in precedenza (Dai rapporti alle percentuali: riprendiamo quanto già sappiamo e Facciamo un po’ di conti: lo spuntino è equilibrato?) i ragazzi dovrebbero saper passare agilmente da una frazione al numero decimale o alla percentuale e viceversa.

Vorrei poi ricordare che anche alla scuola primaria, quando si propongono rapporti di scala, si comincia a familiarizzare con il concetto di rapporto di similitudine, anche se in modo intuitivo e non così codificato come poi nella scuola secondaria. 

In relazione ai rapporti e alle percentuali in gioco, è chiaro che questa volta essi sono utilizzati come operatori moltiplicativi ed è la fotocopiatrice (reale o immaginata) a realizzare l’operazione (di ingrandimento o riduzione) che gli alunni sono invitati a riconoscere.

Al punto 1. si dice chiaramente che Valentina vuole ottenere un ingrandimento e questo rende facile comprendere che scrivere $200$% sulla fotocopiatrice, cioè $\frac{200}{100}$, cioè $2$, significa operare un raddoppio delle dimensioni della foto. Dunque la dimensione maggiore risulterà di $40$ cm.

In analogia, al punto 2. occorre comprendere che scrivere sulla fotocopiatrice $80$% significa avere a che fare con il rapporto di similitudine $0,8$ e dunque la copia risulterà rimpicciolita, con dimensioni $12\times0,8$ cm e $20\times0,8$ cm, dunque $9,6$ cm $\times16$ cm.

Al punto 3. la situazione cambia un po’, in quanto si conosce ciò che si vuole ottenere ma occorre calcolare l’operatore moltiplicativo, cioè il rapporto, cioè la percentuale, che permette di ottenere il risultato voluto. Il testo suggerisce che si tratta di un ingrandimento e dunque aiuta a intuire che il rapporto da trovare sarà maggiore del $100$%, quindi dato da $24:20=1,2$: sulla fotocopiatrice occorrerà dunque scrivere $120$%. La dimensione minore risulterà quindi $12\times1,2=14,4$ cm. Con un po’ più di formalismo, e voi insegnanti vi accorgerete se e quando sarà opportuno, si può pensare, indicando con $F$ il fattore di similitudine, alla relazione $20 \times F=24$, da cui $F= 1,2$.

Analogamente a quanto appena visto, al punto 4. si vuole un rimpicciolimento opportuno, in modo che il lato maggiore risulti $5$ cm. In questo caso è immediato riconoscere che la percentuale richiesta, cioè quella da impostare sulla fotocopiatrice, è $25$% e il lato minore della fotografia rimpicciolita sarà dunque $3$ cm.

A partire dal caso della fotocopiatrice la legge che governa il fenomeno è dunque evidente: si ottengono ingrandimenti scrivendo percentuali maggiori di $100$%, rimpicciolimenti scrivendo percentuali minori di $100$%. E questo è ovviamente generalizzabile, riconoscendo dal punto di vista aritmetico che si tratta di moltiplicare per un numero maggiore o minore di $1$ rispettivamente.

Potete ovviamente variare la situazione proposta, rendendola per esempio un po’ più complessa se richiedete che le misure della fotocopia siano in un certo intervallo, e non fissate.

Pensare a una percentuale come a un operatore moltiplicativo rende molto semplice risolvere alcuni problemi inversi che a volte, anche in classi di secondaria di secondo grado, vengono sbagliati. I quesiti seguenti possono essere esempi opportuni, che potreste proporre per potenziare questo aspetto di percentuale come operatore moltiplicativo invertibile:

–       Con lo sconto del $30$% il mio televisore è costato $2240$ euro. Quale era il suo prezzo iniziale?

–       In una classe vengono proposti due problemi, con i seguenti esiti: il $12$% degli studenti non svolge alcun problema, il $32$% svolge correttamente un solo problema, gli altri $14$ studenti svolgono correttamente entrambi i problemi. Quanti sono gli alunni in quella classe?

–       Il cambio euro dollaro di oggi dice che $1$ euro $=1,2$ USD. Al mio ritorno da New York mi sono rimasti $160$ dollari. A quanti euro corrispondono?

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