Dai rapporti alle percentuali: riprendiamo quanto già sappiamo?

Dai rapporti alle percentuali: riprendiamo quanto già sappiamo?

Molto spesso nella scuola secondaria di primo grado la scrittura di un numero come percentuale o la risoluzione di problemi con percentuali vengono collocati dall’insegnante all’interno del capitolo sulla proporzionalità diretta e questo ambito può rimanerne l’unica cornice. Questo comporta, in molti casi, un utilizzo macchinoso di proporzioni e calcoli: senza nulla togliere all’importanza che la proporzione può assumere per arricchire il significato e la comprensione di una percentuale, dal punto di vista aritmetico risulta senza dubbio decisivo sapersi scollegare dal tema della proporzionalità, riuscendo ad attribuire a una percentuale quel duplice aspetto di operatore e di numero che si è soliti evidenziare a proposito delle frazioni

Tutto ciò è messo chiaramente in luce nelle Indicazioni Ministeriali stesse, dove in riferimento al tema “Numeri” per la scuola primaria si elencano tra gli obiettivi “Utilizzare numeri decimali, frazioni e percentuali per descrivere situazioni quotidiane”, senza dunque presumere alcun collegamento al tema della proporzionalità diretta.

In questa direzione, se per esempio si vuole calcolare il $24\%$ di un numero, risulta senza dubbio più semplice pensare al $24\%$ nella sua veste di operatore moltiplicativo e nella sua rappresentazione $0,24$, e dunque moltiplicare subito quel numero per $0,24$, senza ricorrere ad alcuna proporzione. Analogamente risulta più semplice anche affrontare i cosiddetti problemi inversi: se per esempio un numero è il $24\%$ di un altro, quest’ultimo viene subito determinato dividendo per $0,24$, invertendo dunque l’operatore $\cdot 0,24$ (con l’eventuale ricorso a un opportuno schema a frecce, che in questo contesto risulta particolarmente efficace). 

Tenendo conto del fatto che l’utilizzo di percentuali è davvero diffuso nelle situazioni quotidiane, risulta fondamentale saper operare correttamente con esse e riconoscere, con flessibilità, quale rappresentazione sia più opportuna nel contesto considerato e quale sia l’aspetto (di operatore o di numero) cui sia adeguato riferirsi. 

Per questi motivi vi propongo, in questo articolo e in quelli di prossima pubblicazione, una serie di attività su questo argomento, sia per riprendere quanto gli alunni hanno già incontrato nella scuola primaria, sia per sviluppare e potenziare le loro competenze sulla comprensione e sull’utilizzo di percentuali. La prima situazione che vi presento ha dunque lo scopo di far emergere, nel gruppo classe, ciò che gli alunni già conoscono sul significato di percentuale, sul legame tra rapporti e percentuali, sulla nomenclatura e sul simbolismo utilizzati, che dovrebbero essere già familiari ma che in ogni caso vanno “rispolverati” e condivisi. La modalità collaborativa mi sembra la più idonea per far ricordare, insieme, quanto già imparato alla scuola primaria: ciò che qualcuno propone, anche parzialmente, può favorire la ricostruzione di idee già incontrate e senza dubbio mi sembra preferibile che gli alunni siano protagonisti della ripresa di questi ricordi piuttosto che sia l’insegnante a svolgere una sorta di premessa o ripasso. La formulazione del lavoro potrebbe essere la seguente.

Questo è un tangram, disegnato con i suoi sette pezzi:

a) Esprimi, sotto forma di frazione, di percentuale e di numero decimale, il rapporto fra l’area di ciascuna parte del tangram e l’area del quadrato $ABCD$.

b) Scegli per il lato $AB$ del quadrato una misura opportuna, in modo che l’area di ogni pezzo del tangram risulti espressa da un numero intero.

Il tangram è di solito una figura familiare, tuttavia se non fosse così potete sottolineare a voce la regolarità della sua realizzazione (cioè i vari punti medi ecc.). La parte iniziale dell’attività richiede il passaggio dal rapporto alla percentuale e alla scrittura con virgola e ha l’obiettivo di rafforzare l’equivalenza tra scritture diverse: i rapporti in gioco riguardano aree di semplici figure geometriche, per recuperare la padronanza del significato di rapporto anche in ambito geometrico.

In alternativa o in aggiunta al tangram fisico o al suo disegno, anche in un contesto di didattica digitale integrata può essere utile ricorrere a un modello in GeoGebra:


La scoperta delle proprietà geometriche, suggerite dall’attività con GeoGebra, può essere d’aiuto per argomentare, anche in modi differenti, le risposte richieste nell’attività su rapporti e percentuali.

Al punto a) i rapporti (o le percentuali) sono considerati nel loro aspetto numerico; al punto b), dove si richiede di attribuire misure opportune al lato del quadrato, è evidente che i rapporti o le percentuali debbano essere interpretati come operatori, così da dare, come richiesto, risultati interi. La sottolineatura, in sede di discussione, di tali aspetti, contribuisce a potenziare entrambe le interpretazioni di un rapporto (o di una percentuale o di un numero con virgola). 

Il mio consiglio è quello di far svolgere il punto a) e di discuterne subito gli esiti, così da favorire da subito la condivisione dei significati più opportuni che volete far emergere.

Per il punto a) è ovvio che non serve avere a disposizione alcuna misura ma solo utilizzare le relazioni tra i lati (e dunque tra le aree) dei vari pezzi, tuttavia potrebbe accadere che alcuni alunni siano disorientati, ritenendo invece necessario disporre di qualche dato numerico. In questo caso potreste suggerire loro di attribuire una misura a piacere al lato $AB$ e di procedere poi nei calcoli: così facendo, l’indipendenza dei rapporti richiesti dalla misura di $AB$ risulterebbe evidente dai loro stessi calcoli e inoltre si preparerebbero a rispondere facilmente al quesito b). Potrebbe anche accadere che l’idea di dare una misura ai lati del quadrato scaturisca da loro stessi, e in questo caso ovviamente potreste apprezzare la loro iniziativa e alla fine risulterebbe comunque evidente l’indipendenza degli esiti dalle misure scelte per il lato $AB$.

In sede di discussione arriverete dunque a concludere, in base a più strategie (calcoli di aree o ragionamenti di equiscomponibilità) che il tangram è costituito da due triangoli rettangoli “più grandi”, un triangolo rettangolo “medio”, due triangoli rettangoli “più piccoli”, un quadratino e un parallelogramma, con i seguenti rapporti rispetto al quadrato $ABCD$:

– per ognuno dei triangoli rettangoli “più grandi” si ha che il rapporto con l’area di $ABCD$ è $\frac{1}{4} = 0,25 = 25\% $;

– per il triangolo rettangolo “medio” si ha che l’analogo rapporto è $\frac{1}{8} = 0,125 = 12,5\% $;

– per ognuno dei triangoli rettangoli “più piccoli” si ha $\frac{1}{16} = 0,0625 = 6,25\% $;

– osservando infine che sia il quadratino che il parallelogramma sono equivalenti a un triangolo rettangolo “medio”, il rapporto richiesto risulta lo stesso, cioè $\frac{1}{8} = 0,125 = 12,5\% $.

Facendo poi affrontare agli alunni la richiesta del punto b), è evidente che i rapporti trovati al punto precedente portano a concludere che ci sono più soluzioni: se la misura del lato $AB$ è $16$ o un multiplo di $16$, allora la misura di ogni pezzo del tangram risulta espressa da un numero intero.

La situazione potrebbe diventare più complessa se si richiedesse, in aggiunta, di considerare i rapporti fra i perimetri dei vari pezzi e il perimetro del quadrato $ABCD$: è chiaro che in questo caso i rispettivi rapporti non sarebbero razionali (coinvolgendo lati e diagonali di quadrati) e dunque non esprimibili con frazioni: qualsiasi scelta per la misura del lato $AB$ non darebbe mai, quindi, un risultato intero. È evidente che questo tipo di riflessione è molto più impegnativa e potrebbe essere rimandata a un momento successivo, poiché è adatta a sviluppare o consolidare, quando lo riteneste opportuno, l’idea dell’esistenza di segmenti non commensurabili tra loro.

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