L’essenziale è invisibile agli occhi (Antoine de Saint-Exupéry)
Lo scopo dell’Arte è rendere visibile l’invisibile (Franco Fontana)
Galileo Galilei, nel “Saggiatore”, afferma che lo scienziato deve imparare a leggere direttamente la lingua matematica in cui si esprime la natura.
Noi insegnanti potremmo orientare studentesse e studenti perlomeno a percepire la matematica insita nella realtà che ci circonda, ambienti naturali o urbani che siano. Da qui l’idea di utilizzare allora delle immagini opportune di questi ambienti per invitare studentesse e studenti a coglierne soprattutto gli aspetti geometrici, applicando strumenti matematici per definirli quantitativamente.
Se le immagini poi provengono da foto artistiche, esse possono connettere l’ambito matematico non solo al mondo reale ma anche a quello dell’arte, contribuendo a creare un ulteriore alone di bellezza durante le ore di Matematica.
L’immagine sopra riportata può ricordare una fotografia presente nelle mostre odierne di Franco Fontana (Modena, 9 dicembre 1933). Egli dedicò negli anni ’60 una serie di scatti ai paesaggi urbani caratterizzati da una forte geometria e dall’essenzialità degli elementi. Negli scatti Fontana isola infatti frammenti di realtà e rivela la geometria nascosta nelle cose. L’idea che vuole esprimere il fotografo, come racconta in un’intervista del 2022, è che la fotografia non sia riproduzione ma interpretazione della realtà.
Ho mostrato in classe una foto dell’artista per un’attività didattica particolare, l’interpretazione geometrica della realtà: si tratta di una foto in pieno sole di un vicolo tra due muri con un tratto di cielo azzurro.
La fonte di luce è naturale, dato che si tratta del sole, quindi siamo nel caso di un tipo di illuminazione detta parallela. La sorgente luminosa, il sole, in questo caso è così lontana che si può con buona approssimazione considerare all’infinito e quindi i raggi di luce emessi come paralleli.
Una parte del muro è investito dai raggi e una parte rimane in ombra (ombra propria), la linea di separazione è detta opportunamente linea separatrice. In questo caso si potrebbe effettuare lo sviluppo delle equazioni delle rette della separatrice d’ombra tenendo conto della traslazione del piano di riferimento, risolvendo il problema tramite la geometria proiettiva.
In realtà i raggi che investono l’oggetto della foto (così come nell’immagine sopra riportata) fanno sì che esso sia solo di ostacolo alla propagazione della luce negli altri piani generando su questi altre ombre dette ombre portate.
Nella mia attività didattica ho tenuto conto solo di queste, utilizzando la trigonometria per calcolarne gli effetti.
L’idea di sfruttare una foto di ambienti urbani fra quelle scattate da Fontana per un’esercitazione in classe che interessi un’interpretazione geometrica della realtà raffigurata rientra in un’idea particolare di attività laboratoriale. Non è l’insegnante che mostrando la foto dichiara a studentesse e studenti cosa fare, ma potrebbe essere didatticamente più formativo lasciare del tempo per osservare bene la foto e poi stimolare la classe a proporre attività di studio in cui poter applicare conoscenze di matematica note.
Di seguito riporto un semplice disegno schematico che rappresenta gli elementi geometrici della foto utilizzata che hanno interessato l’attività.
Mi sono limitata a ipotizzare una misura reale per l’altezza del muro completamente in ombra (posizionato a destra del vicolo nell’immagine): $3,5$ m.
In una prima liceo scientifico mi hanno chiesto di indicare anche la scala di rappresentazione. Non è stato necessario rispondere loro: altre studentesse e studenti hanno suggerito il modo di ricavarla dalla misura reale e da quella corrispondente in foto.
Le proposte delle classi sono state variegate, dalle più banali a quelle più elaborate.
Di seguito riporto alcune delle attività svolte:
- misura di alcune parti raffigurate: ampiezza del passaggio fra i muri, altezza dei muri in parte in ombra e in parte in luce
- misura dell’area della porzione di cielo come composizione di figure
- calcolo dell’ampiezza dell’angolo di incidenza del raggio solare ricavato trigonometricamente in base alle ombre
- misura del rapporto di luminosità:
- misura dell’area illuminata e dell’area in ombra e loro confronto
- calcolare della percentuale di superficie in ombra rispetto a quella in luce
Dietro mia richiesta invece un gruppo della classe è riuscito a individuare anche l’espressione analitica della linea d’ombra principale lievemente obliqua sul muro che rimane in parte illuminato dal sole.
Per brevità riporto alcuni dei risultati ottenuti rispetto a tutte le proposte descritte sopra.
Le misure degli elementi in foto sono state prese proiettando l’immagine sul panel di classe in dimensioni tali che poi a casa studentesse e studenti potessero replicarle sul loro device.
Ecco alcuni esempi di misure rilevate dalla foto:
- altezza del muro completamente in ombra: $14$ cm
- altezza dell’estremo superiore dell’ombra: $6,5$ cm
- lunghezza della linea d’ombra obliqua sul muro illuminato parzialmente dal sole: $8$ cm
- linea che delimita superiormente la porzione di cielo pari: $9$ cm
Inizialmente studentesse e studentesse hanno individuato il rapporto di scala $\dfrac{350}{14}=25$, quindi la scala è $1:25$.
Per calcolare l’ampiezza dell’angolo di incidenza del raggio solare, studentesse e studenti hanno considerato che l’immagine è in scala rispetto alla situazione reale che rappresenta e che tutte le figure presenti nella foto sono simili a quelle reali mantenendo la congruenza degli angoli. Hanno quindi calcolato trigonometricamente l’angolo di incidenza del raggio solare e poi verificato il risultato misurando direttamente l’angolo formato dalle ombre nella foto.
La lunghezza reale dell’ombra obliqua è pari a $8\cdot 25$ cm $=200$ cm e l’altezza verticale dell’ombra è $6,5\cdot 25$ cm $=162,5$ cm.
Quindi:
$\theta =\arcsin \left( \dfrac{162,5}{200}\right)= \arcsin 0,812\approx 54,3^{\circ }$
Quindi l’angolo di elevazione solare al momento della foto era di circa $54,3^{\circ }$.
Per trovare l’espressione analitica della linea d’ombra, un gruppo della classe ha introdotto un sistema di coordinate avente l’origine $\left(0,0\right) $ nell’angolo inferiore sinistro dove l’ombra incontra il terreno e l’asse $x$ in corrispondenza della linea di separazione fra il terreno e il muro che rimane parte in ombra e parte in luce.
Utilizzando l’angolo di incidenza del raggio solare precedentemente calcolato come coefficiente angolare $m$ (pendenza) ed essendo q l’intercetta con l’asse $y$ pari a $0$, l’espressione analitica della linea d’ombra è:
$y=0,812x$
È stato anche interessante far notare alla classe come l’equazione della linea rimanga la stessa anche utilizzando le misure reali, prendendo quel particolare sistema di riferimento. Il coefficiente angolare rimane sempre lo stesso, in tutti i casi, visto che il rapporto tra altezza e base (cioè la pendenza) non cambia quando si applica lo stesso fattore di scala a entrambe le dimensioni. Quello che potrebbe cambiare è il valore dell’intercetta $q$ nel caso in cui l’asse $x$ non coincida con la linea di separazione terreno-muro.
Quindi l’espressione analitica della linea d’ombra in scala reale con questa scelta di sistema di riferimento è:
$y = 0,812x$
dove $x$ e $y$ sono esprimibili in metri.
Si possono utilizzare anche altre foto dello stesso autore, più facilmente reperibili in rete, che offrono altrettanti spunti per sviluppare un’attività didattica che cerchi di interpretare geometricamente la realtà.
Volendo invece sfruttare l’immagine fotografica riportata in quest’articolo, si potrebbero quantificare gli stessi aspetti geometrici, pur rilevando dall’immagine dimensioni diverse.
Per calcolare l’angolo di inclinazione dei raggi solari e l’equazione della linea leggermente obliqua d’ombra sul muro parzialmente in luce, studentesse e studenti dovranno rilevare con riga e squadra l’altezza relativa della punta destra dell’ombra obliqua rispetto alla parallela al terreno, visto che l’immagine non offre la possibilità di vederla (e quindi misurare dove incontrerà il terreno a sinistra). Occorrerà quindi porre un sistema di assi cartesiani in modo che l’asse $x$ coincida con questa parallela al terreno e l’asse $y$ con l’ombra verticale.
L’essenziale è invisibile agli occhi ma l’arte può rendere visibile l’invisibile. Forse si dovrebbe ammettere che qualcosa è più invisibile a noi insegnanti che a ragazze e ragazzi. Offriamo dunque loro la possibilità di tirar fuori e sviluppare le loro migliori potenzialità anche pensando a qualche attività didattica non usuale, che magari abbia uno sguardo (matematico) sull’arte!