In matematica un’isometria è una trasformazione geometrica che mantiene le distanze tra punti corrispondenti. Una simmetria è un tipo particolare di isometria; tuttavia, più in generale, possiamo parlare di simmetria di una figura quando questa, in seguito a trasformazioni geometriche, appare invariata nella forma.
Spesso si parla anche di simmetrie presenti nella musica, all’interno di frasi o di periodi musicali, oppure in loro raggruppamenti che formano unità musicali più ampie, o anche non solo al loro interno ma correlando queste parti tra loro, simmetrie, che si percepiscono all’ascolto e si verificano nel riscontro sulle partiture. Cerchiamo di scoprire come alcune “strutture” musicali, ossia le architetture con cui alcune composizioni si articolano e si suddividono internamente, possono essere rappresentate matematicamente e trovare un corrispettivo contenuto geometrico. Parleremo in particolare di simmetrie e traslazioni (con il canone).
Quali prerequisiti musicali, gli studenti dovrebbero già leggere la musica, sia pure a livello elementare, suonare e cantare brevi e semplici brani, nonché riconoscere le note sulla tastiera, e qui individuare gli intervalli di tono e di semitono.
In merito ai prerequisiti matematici, gli studenti devono saper usare il piano cartesiano come strumento per rappresentare dati di vario tipo. Ciò perché nel nostro caso andranno a rappresentare una sequenza di note, misurando gli intervalli non in termini di frequenze in Hz ma in termini di intervalli di tono e semitono.
Una prima attività di laboratorio Doremat© su questi argomenti che proponiamo agli studenti è l’esecuzione e l’analisi, prima da un punto di vista intuitivo e poi matematico, di un canone: qui trovate la descrizione dell’attività.
L’attività precedente mostra il rapporto tra la forma musicale del “canone” e la traslazione: si può interpretare l’entrata successiva delle singole voci di un canone come una traslazione temporale e darne inoltre una rappresentazione su un piano cartesiano mettendo le note in ordinata.
Il trasporto di una qualsiasi melodia a una tonalità più acuta o più grave è rappresentabile anche come traslazione spaziale, sempre su un piano cartesiano: qui trovate la scheda di lavoro e qui il relativo audio.
Una delle occasioni in cui si parla di simmetrie è a proposito delle forme ternarie, sintetizzate nello schema ABA, detto anche “forma col da capo”, perché al primo episodio musicale segue un episodio contrastante, B, a sua volta seguito dalla ripresa del primo. Molte forme di musica d’arte e popolare e molte altre composizioni presentano questa forma. Qui proponiamo un’attività di laboratorio per familiarizzare con questo modello.
La simmetria così ricavata è però pur sempre una generalizzazione, che si giustifica dal punto di vista della percezione dell’ascoltatore, e con lo sviluppo nel tempo di un brano musicale. È una sintesi di percezione e lettura della partitura, è una simmetria che può essere giustificata a livello di descrizione delle più ampie articolazioni formali della musica.
A livello minimo, invece, possono sussistere casi di simmetria, per esempio, per alcune successioni di intervalli1, a partire solo da determinati suoni, non da tutti.
Prendiamo la tastiera di un pianoforte e seguiamo il percorso suggerito dall’attività che trovate qui.
Inoltre, se consideriamo la musica seriale2, ci sono altri specifici esempi di simmetrie più vicine al concetto matematico delle simmetrie, proprio perché si basano sulla struttura intervallare delle parti o delle frasi. Nonostante la non totale coincidenza tra ciò che intendiamo come “simmetria musicale” e ciò che è la definizione di “simmetria matematica”, l’obiettivo della nostra pratica didattica è quello di sfruttare le potenti analogie tra le due discipline per far maturare e rafforzare i concetti, matematici e musicali, trattati. Abbiamo utilizzato e utilizzeremo nel nostro laboratorio, di cui trovate qui la scheda di lavoro, qui e qui gli audio, la melodia Ah vous dirai-je maman divenuta famosa perché utilizzata da Mozart in una serie di Variazioni.
1 In musica, intervallo è la distanza tra due suoni, misurata in toni e semitoni.
2 Musica composta sull’uso di determinate successioni di elementi musicali. Iniziatore fu Arnold Schönberg con la dodecafonia.