Nell’articolo precedente abbiamo visto che le durate delle note musicali possono essere rappresentate da frazioni.
Le attività proposte di seguito, sempre nell’ambito dei laboratori “Doremat©1“, presuppongono che gli allievi abbiano già svolto qualcuna delle esperienze suggerite nel primo articolo, oppure, che conoscano:
- i rapporti tra le durate delle note;
- la rappresentazione delle note attraverso frazioni, i concetti di battuta e metro.
L’opportunità, poi, di rappresentare in matematica una sequenza ritmica attraverso un’espressione aritmetica potrà essere introdotta in modo naturale attraverso esempi ed esperienze di esecuzione musicale.
Le equazioni costituiscono uno degli oggetti più importanti della matematica: il loro sviluppo come oggetto matematico ha avuto inizio centinaia di anni fa e costituiscono un potente strumento di interpretazione e di analisi dei fenomeni; pervadono la realtà, esplicitando relazioni importanti tra proprietà di fenomeni e oggetti reali.
Con la consapevolezza di essere un po’ riduttivi, possiamo dire che un’equazione è una relazione di uguaglianza tra due espressioni matematiche che contengono numeri e lettere, ossia variabili o costanti, e alcune di queste variabili, in base a ciò che ci prefiggiamo di fare con un’equazione, possono essere incognite.
Per esempio, con un’equazione possiamo descrivere algebricamente la relazione esistente tra le durate delle varie note musicali. Infatti, in riferimento alla tabella, scorrendola dall’alto verso il basso, osserviamo che il rapporto tra le durate di due figure ritmiche consecutive è sempre di $2:1$ (il rapporto diviene di $1:2$ se si scorre la tabella dal basso verso l’alto). Per esempio, la durata della semibreve è il doppio della durata della minima (rapporto $2:1$), la croma dura la metà della semiminima (rapporto $1:2$) e così via. Avevamo già proposto un’attività nel precedente articolo per la comprensione dei rapporti di durata tra le varie note musicali: ora possiamo riprendere il discorso cercando di generalizzarlo.
A tal fine, le domande da proporre agli studenti potrebbero essere le seguenti: osservando la tabella, cosa possiamo dire sulla durata di una nota musicale rispetto a quella della sua precedente? E rispetto a quella della sua successiva? Per esempio, com’è nel confronto quantitativo la durata di una semiminima rispetto a quella di una minima? E la durata di una semiminima rispetto a quella di una croma?
Cerchiamo in principio risposte nel linguaggio verbale comune per poi passare a un linguaggio aritmetico attraverso l’uso di operazioni e numeri. Successivamente, attraverso il passaggio per casi particolari, possiamo condividere con gli studenti una scrittura generica che ci permetta di esprimere il rapporto tra le durate di due figure ritmiche consecutive. Per esempio, se si indica con $d_{n}$ la durata dell’ennesima nota a partire dall’alto e con $d_{n+1}$ la durata della nota immediatamente sotto (dove $n$ indica un numero naturale), una possibile scrittura è la seguente: $d_{n}=2\cdot d_{n+1}$ o, equivalentemente, $d_{n+1}=\dfrac{1}{2}\cdot d_{n}$.
Qui potete trovare una premessa alle attività e una riflessione sui linguaggi astratti in rapporto al linguaggio naturale.
La risoluzione di un’equazione
Se in un’equazione volessimo determinare il valore di una variabile in funzione delle altre, dovremmo risolvere quell’equazione rispetto a quella variabile che abbiamo scelto come incognita. La risoluzione di un’equazione è connessa spesso alla risoluzione di un problema: concretamente con un’equazione possiamo porre una domanda riguardo a una situazione reale e la sua soluzione ci fornisce una risposta a tale domanda. Il contesto nel quale eserciteremo queste due abilità (porre una domanda e dare una risposta) è quello dell’esecuzione musicale di una battuta, precisamente una battuta incompleta che gli allievi dovranno prima completare con una figura musicale. L’equazione, in questo caso, stabilisce una relazione tra la durata di una battuta di metro $\dfrac{4}{4}$ e la somma delle durate delle note con cui si compone la battuta stessa. L’attività propone una situazione problematica (relativamente semplice) da esaminare, da risolvere prima nel contesto, per tentativi, e poi da rappresentare e risolvere attraverso un’equazione. Qui potete scaricare la relativa scheda di lavoro per gli studenti.
Svolta questa attività di base, possiamo arricchire il contesto musicale (e di conseguenza l’analisi e la rappresentazione matematica della situazione) prendendo in esame brani a due voci da eseguire in duo. Il punto di partenza è sempre una sequenza ritmica incompleta che si chiede di completare al fine di poter essere eseguita contemporaneamente a un’altra; rispetto alla situazione proposta nell’Attività 1, questa è più complessa e richiede il confronto della durata di una sequenza con l’altra: anche in questo caso, è un’equazione che ci permette di porre in relazione di uguaglianza la durata delle due voci. Qui potete scaricare la relativa scheda di lavoro per gli studenti e qui una possibile soluzione.
Le precedenti attività partivano da un contesto musicale per arrivare a una scrittura matematica; tuttavia, è interessante e utile proporre anche il passaggio inverso: trasformare una scrittura nel registro algebrico in una scrittura nel registro musicale. A tal fine, proponiamo un’ultima attività con relative schede di lavoro che trovate qui e qui. Quest’ultima esperienza prevede anche la composizione da parte degli allievi di un brano musicale a due voci: non dimentichiamo, infatti, l’importanza di attività di invenzione musicale.
1 Curatrice: Denise Lentini