Il teorema di Pitagora è forse il teorema che ci rimarrà più impresso nella memoria. Già noto ai Babilonesi, fu dimostrato da Pitagora. Ma, oltre all’enunciato tradizionale che mette in relazione le aree dei quadrati costruiti sui lati di un triangolo rettangolo, vale anche un enunciato più generale, il teorema di Pitagora generalizzato (per poligoni):
In ogni triangolo rettangolo, l’area di un qualunque poligono costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei poligoni, simili a quello costruito sull’ipotenusa, costruiti sui cateti.
Realizziamo allora un’attività affinché i ragazzi si stupiscano, scoprendo questa generalizzazione con modelli di carta.
Occorreranno, per ogni allievo, $3$ fogli quadrati di lato $7,5$ cm, $10$ cm e $12,5$ cm, rispettivamente. Potete farli ritagliare da fogli a quadretti. In questo caso, indipendentemente dalla lunghezza del lato del quadretto (che potrebbe essere $0,4$ o $0,5$ cm, a seconda del quaderno), potete chiedere di ritagliare $3$ quadrati di lato $15$, $20$ e $25$ quadretti, rispettivamente.
Seguiamo ora l’attività passo per passo:
1) Fate appoggiare i due quadrati più piccoli sul banco (o meglio sul quaderno) in modo che due dei loro lati formino un angolo retto. I ragazzi potranno verificare che il lato del quadrato più grande completa il triangolo rettangolo e potranno controllare che effettivamente è verificato il teorema di Pitagora “classico”, cioè, indicando con $c$ la misura del cateto minore, con $C$ quella del cateto maggiore e con $i$ quella dell’ipotenusa:
$c^{2}=15\times 15=225$ quadretti$^{2}$
$C^{2}=20\times 20=400$ quadretti$^{2}$
$i^{2}=25\times 25=625$ quadretti$^{2}$
Vale quindi che $i^{2}= c^{2} + C^{2}$.
2) Usando i tre fogli precedenti, fate ora piegare tre girandole, seguendo le istruzioni della sequenza fotografica (le istruzioni dettagliate si trovano nel mio precedente articolo Scomponendo e componendo una girandola).
Osservate che le girandole sono proporzionali perché ottenute dalla piegatura di fogli proporzionali.
3) Fate appoggiare le due girandole più piccole sul banco (o meglio sul quaderno) in modo che due dei loro lati esterni “diagonali” formino un angolo retto, come mostra la figura.
I ragazzi potranno osservare che il lato esterno “diagonale” del quadrato più grande completa il triangolo rettangolo. Abbiamo quindi costruito un triangolo rettangolo sui lati del quale poggiano tre figure proporzionali. Vale il teorema di Pitagora per queste figure? È vero cioè che la somma delle aree della girandola piccola e media dà l’area di quella grande?
Per verificarlo, chiedete di calcolare l’area delle girandole. Il calcolo è semplice poiché la girandola si può vedere come composta da:
- un corpo quadrato centrale che ha lato la metà del lato di partenza (quindi l’area della parte centrale vale $\dfrac{1}{4}$ di quella del quadrato di partenza); le aree di questi quadrati saranno rispettivamente (indicando con $Q_{G}$ l’area del quadrato grande, con $Q_{M}$ quella del quadrato medio e con $Q_{P}$ quella del quadrato più piccolo):
$Q_{G}=\dfrac{625}{4}=156,25$
$Q_{M}=\dfrac{400}{4}=100$
$Q_{P}=\dfrac{225}{4}=56,25$
- $4$ alette triangolari che sono equiestese a un triangolo rettangolo pari alla metà del quadrato centrale; le aree dei $4$ triangoli saranno rispettivamente (indicando con $T_{G}$ l’area del triangolo grande, con $T_{M}$ quella del triangolo medio e con $T_{P}$ quella del triangolo più piccolo):
$T_{G}=\dfrac{Q_{G}}{2}=78,125$
$T_{M}=\dfrac{Q_{M}}{2}=50 $
$T_{P}=\dfrac{Q_{P}}{2}=28,125$
Quindi, le aree delle girandole costruite rispettivamente sull’ipotenusa ($A_{i}$) e sui due cateti ($A_{C}$ e $A_{c}$), valgono:
$A_{i}=Q_{G}+T_{G}=156,25+78,125=234,375$
$A_{C}=Q_{M}+T_{M}=100+50=150$
$A_{c}=Q_{P}+T_{P}=56,25+28,125=84,375$
Ed effettivamente si ha:
$A_{i}= A_{C}+A_{c}$