Sebbene gran parte dell’informazione quotidiana sia incentrata sul dibattito politico, la partecipazione attiva delle cittadine e dei cittadini alle consultazioni elettorali ha registrato negli ultimi anni un calo inesorabile, culminato con il crollo dell’affluenza alle elezioni del Parlamento Europeo nello scorso mese di giugno1. Anche le elezioni del nostro Parlamento richiamano alle urne un numero sempre più ridotto di elettrici e di elettori, come mostra il grafico seguente2.
In questo articolo, senza entrare nel merito delle cause della crescente disaffezione delle cittadine e dei cittadini nei confronti delle istituzioni e consapevole del fatto che le nostre studentesse e i nostri studenti di oggi saranno le elettrici e gli elettori di domani, voglio proporre alcuni spunti per un percorso didattico sulla matematica delle elezioni, che può integrare e arricchire il contributo di docenti di Diritto e/o Storia sulla nostra Costituzione: in che modo le preferenze raccolte si traducono in un dato numero di seggi? In base a quali meccanismi si genera la composizione del Parlamento? Quanto “fedelmente” la ripartizione finale rispecchia il risultato elettorale?
Proveremo a rispondere a queste domande analizzando esempi concreti attraverso i semplici strumenti della divisione con resto e delle proporzioni/percentuali, per poi introdurre gli indici di sproporzionalità, con particolare riferimento a quello di Gallagher.
L’idea è che siano le studentesse e gli studenti a fare i conti sotto la guida di voi docenti, che potete vedere i risultati nel foglio di calcolo allegato.
Parte A: le formule elettorali
L’attribuzione dei seggi (in base al numero di voti ottenuti) può essere fatta secondo diversi sistemi elettorali, essenzialmente classificati come maggioritario, proporzionale e misto.
Nel sistema maggioritario il territorio è suddiviso in “collegi” in numero pari al numero di seggi da attribuire. Di norma i collegi sono uninominali, cioè c’è un solo candidato per partito. Il candidato che riceve più voti viene eletto.
Nel sistema proporzionale il territorio è diviso in circoscrizioni elettorali con collegi plurinominali e i seggi vengono assegnati alle varie liste o partiti in relazione alla percentuale di voti ottenuti.
Nel sistema misto, infine, una quota dei seggi è assegnata tramite sistema maggioritario e la quota restante tramite il sistema proporzionale.
Il seguente compito di realtà può aiutare a comprendere i diversi casi.
Supponiamo di dover eleggere i $100$ parlamentari di un Paese in cui i candidati appartengono a $5$ diversi partiti politici (A, B, C, D, E). Immaginiamo che le elezioni abbiano dato il seguente esito (sul totale degli elettori):
Tabella 1 – Distribuzione dei voti complessivi tra i partiti
| Partito | Voti ottenuti ($\%$) |
| A | $35$ |
| B | $25$ |
| C | $20$ |
| D | $15$ |
| E | $5$ |
- Ipotizza che la legge elettorale preveda un sistema maggioritario con $100$ collegi uninominali e immagina la seguente distribuzione dei voti nei collegi: il partito A vince in $55$ collegi, il partito B in $25$, il C in $15$, il D in $5$, il partito E non vince in nessun collegio. Quanti seggi ottiene ciascun partito? A che percentuale dei seggi disponibili corrispondono? Queste percentuali rispecchiano quelle della tabella 1? Cosa accadrebbe se, in ognuno dei $100$ collegi, la distribuzione dei voti fosse quella della tabella 1?
- Ipotizza che nel Paese in esame sia in vigore il sistema proporzionale. Determina la composizione del Parlamento sulla base dei risultati in tabella 1.
- Supponi che i seggi siano assegnati sulla base di un sistema misto: metà dei seggi è assegnata secondo il sistema maggioritario e l’altra metà secondo il sistema proporzionale. Per la componente maggioritaria assumi la distribuzione dei voti indicata nell’esercizio 1. Calcola il numero di seggi attribuiti a ciascun partito (arrotonda eventuali decimali).
- Costruisci una tabella che illustri la composizione del Parlamento nei tre casi. Discuti le differenze più significative.
- Ripeti il calcolo al punto 3 supponendo che la quota dei seggi assegnati con sistema maggioritario sia pari al $37\%$3.
Parte B: dai voti ai seggi – Analizziamo meglio il sistema proporzionale
In un sistema proporzionale, la traduzione del numero di preferenze ottenute dai vari partiti in seggi viene effettuata secondo precisi algoritmi, che essenzialmente appartengono a due grandi famiglie, note rispettivamente come il metodo del quoziente e il metodo dei divisori. All’interno di ciascuna di queste famiglie, esistono diverse varianti, ma qui mi limito a illustrare l’idea di base dei due metodi principali. Per il metodo dei quozienti illustro la versione di Hare, per quello dei divisori il metodo D’Hondt.
Nel metodo del quoziente si calcola una quota di voti corrispondente a ciascun seggio, intesa come il costo in termini di preferenze che bisogna aggiudicarsi per l’attribuzione di un seggio. Detti $V$ e $S$, rispettivamente, il numero totale di votanti e il numero di seggi da distribuire, il quoziente $Q$ (o “quota elettorale”) è definito semplicemente come il rapporto:
$Q=\dfrac{V}{S}$
Se $N_{I}$ è il numero di voti raccolti da un partito $I$, il numero iniziale di seggi $S_{I}$ che saranno dati al partito $I$ risulterà uguale al quoziente della divisione tra $N_{I}$ e $Q$:
$S_{I}=\dfrac{N_{I}}{Q}$
In generale, tuttavia, $N_{I}$ non è un multiplo di $Q$ e dunque la divisione genererà anche un resto, secondo la formula:
$N_{I}=S_{I}Q+R_{I}$
essendo $R_{I}$ il resto della divisione. I seggi residui (corrispondenti alla differenza tra il numero totale di seggi disponibili e la somma dei quozienti) vengono quindi assegnati ai partiti sulla base dei resti più grandi.
Il metodo dei divisori o delle più forti medie, invece, assegna i seggi in base ai quozienti successivi ottenuti dividendo i voti di ogni partito per una serie di divisori che vanno da $1$ fino al numero di seggi totali da assegnare ($1$, $2$, $3$ ecc.). Ciascuna divisione restituisce un quoziente che si chiama “media” e si costruisce una lista delle medie disposte in ordine decrescente. I seggi vengono quindi attribuiti scorrendo la lista ordinata delle medie, cioè in base ai quozienti più alti, fino ad esaurire i seggi disponibili: ciascun partito otterrà tanti seggi quante sono le sue medie nella lista ordinata troncata al numero di seggi disponibili.
Possiamo sottoporre alle studentesse e agli studenti i due metodi lavorando su un esempio numerico, come quello che illustro qui di seguito, in cui $5$ ipotetici partiti si contendono $8$ seggi, e analizzando la distribuzione dei seggi che corrisponderebbe a ciascuno dei due scenari.
Supponi che in una certa circoscrizione territoriale, a cui corrispondono $8$ seggi, le elezioni abbiano dato gli esiti riassunti nella tabella 2.
Tabella 2 – Applicazione del metodo di Hare a un caso specifico
| Partito | Voti ($V$) | Seggi iniziali ($\dfrac{Q}{V}$) | Resto | Seggi totali | Percentuale voti | Percentuale seggi |
| A | $62.000$ | |||||
| B | $45.000$ | |||||
| C | $50.720$ | |||||
| D | $22.080$ | |||||
| E | $16.800$ | |||||
| Totale | $196.600$ |
- Determina la quota elettorale $Q$.
- Completa la tabella, inserendo i seggi iniziali, i resti e le percentuali corrispondenti ai voti ottenuti. Esegui queste operazioni mediante un foglio di calcolo, utilizzando le funzioni INT e RESTO.
- Assegna i seggi residui ai partiti con resti maggiori e calcola i seggi totali per ciascun partito.
- Stabilisci se, in generale, questo metodo equivale a un “arrotondamento” del risultato della divisione del numero di voti raccolti per quota elettorale.
- Confronta le percentuali di voti e le percentuali di seggi e commenta i risultati.
Tabella 3 – Applicazione del metodo D’Hondt a un caso specifico
| Partito | Voti ($V$) | Media $\dfrac{V}{2}$ | Media $\dfrac{V}{3}$ | Media $\dfrac{V}{4}$ | Media $\dfrac{V}{5}$ | Media $\dfrac{V}{6}$ | Media $\dfrac{V}{7}$ | Media $\dfrac{V}{8}$ |
| A | $62.000$ | |||||||
| B | $45.000$ | |||||||
| C | $50.720$ | |||||||
| D | $22.080$ | |||||||
| E | $16.800$ | |||||||
| Totale | $196.600$ |
6. Completa la tabella 3, inserendo nelle colonne i risultati della divisione dei voti ottenuti ($V$) per i divisori, che vanno da $1$ (in tal caso il risultato della divisione coincide con $V$) al numero di seggi (nel caso in esame i seggi sono $8$).
7. Individua “le più forti medie”, cioè i quozienti più alti presenti nella tabella 3, fino a un numero pari al numero di seggi da assegnare ($8$).
8. Assegna a ciascun partito il numero di seggi corrispondente al numero di medie più forti (cioè quozienti più alti) che presenta.
9. Riassumi in una nuova tabella il numero di voti ottenuti da ciascun partito, il numero di seggi assegnati con il metodo dei divisori e le rispettive percentuali di voti e di seggi. Commenta i risultati.
10. Confronta la distribuzione di seggi ottenuta tramite il metodo D’Hondt con quella ottenuta tramite il metodo di Hare.
PARTE C – Gli indici di (dis)proporzionalità
Gli esempi illustrati fino a questo momento dovrebbero aver fatto comprendere chiaramente alle studentesse e agli studenti che, a parità di esito elettorale, la composizione di qualunque assemblea rappresentativa dipende, in misura più o meno marcata, dal criterio con cui si attribuiscono i seggi e dunque, in primis, dal sistema elettorale e poi, per il dato sistema elettorale, dallo specifico algoritmo che traduce i voti in seggi. Infatti, pur rimanendo nell’ambito di un sistema elettorale proporzionale, il metodo del quoziente e quello dei divisori (sebbene ci siamo limitati a una singola variante per ciascuno dei due) possono produrre una diversa distribuzione dei seggi. In generale, dunque, la percentuale di voti e la percentuale di seggi non coincidono.
Considerazioni di questo tipo possono servire per riflettere con le nostre studentesse e i nostri studenti sul difficile equilibrio tra due caratteristiche auspicabili, ma difficilmente conciliabili, per ciascun organo rappresentativo in democrazia, cioè la rappresentatività dell’elettorato e la stabilità.
Possiamo spiegare alle ragazze e ai ragazzi che sono stati elaborati, a partire dagli anni Sessanta del secolo scorso, diversi indici per misurare la deviazione tra voti e seggi ottenuti. A mero titolo di esempio, potete soffermarvi sull’indice di Gallagher, la cui definizione ricorda il metodo dei minimi quadrati, utilizzato per esempio per determinare la curva che meglio approssima una serie di dati.
L’indice di Gallagher si calcola mediante la seguente formula (l’abbreviazione $LS_{q}$ sta per “Least Squares”, anche se il suo calcolo implica una semplice somma di quadrati delle deviazioni che non viene minimizzata):
$LS_{q}=\sqrt{\dfrac{1}{2}\sum ^{n}_{i=1}\left( V_{i}-S_{i}\right) ^{2}}$
in cui $n$ è il numero di partiti e $V_{i}$ e $S_{i}$ le percentuali, rispettivamente, di voti ottenuti e di seggi assegnati. L’indicatore dà valore $0$ se le percentuali di voti e seggi coincidono, mentre restituisce valori sempre più alti all’aumentare della disproporzionalità.
Diverse sono le attività che si possono proporre alle studentesse e agli studenti per acquisire familiarità con questo indice:
- chiedere di calcolare $LS_{q}$ a partire dai risultati delle tabelle 2 e 3, eseguendo le operazioni mediante un foglio di calcolo, e confrontare i valori ottenuti;
- far analizzare l’indice, a parità di esiti, per diversi scenari elettorali (maggioritario, proporzionale, misto) e far valutare quale sistema riproduce più fedelmente il voto espresso dagli elettori;
- far studiare l’evoluzione dell’indice di Gallagher nel tempo, calcolandolo per le elezioni del nostro Parlamento su intervallo di tempo che può andare indietro fino al $1948$4, in modo da poter discutere le implicazioni sulla rappresentatività delle leggi elettorali varate nei decenni nel nostro Paese.
1 I risultati delle elezioni europee in Italia possono essere consultati alla pagina: Eligendo: Europee [Scrutini] Italia + Estero (In complesso) – Europee, amministrative e regionale (Piemonte) 8-9 giugno 2024 e ballottaggi. Il dato relativo all’affluenza ($48,31\%$) è riportato in fondo.
2 Il grafico è realizzato sulla base dei dati disponibili all’archivio Eligendo Archivio, selezionando elezione, data e area. Per quest’ultima, a partire dal $2006$, il dato è disaggregato nelle voci Italia a eccezione della Valle d’Aosta (e del Trentino Alto Adige per il Senato), Valle d’Aosta (e Trentino Alto-Adige) e Estero. I valori indicati dal $2006$ sono relativi all’area Italia a eccezione di Valle d’Aosta/Trentino Alto-Adige.
3 Questo è il peso della quota maggioritaria nell’elezione del Parlamento italiano, in cui il $61\%$ dei seggi è assegnato secondo il sistema proporzionale e il restante $2\%$ dei seggi è assegnato ai candidati eletti nelle circoscrizioni estere.
4 A questo scopo può essere utile estrarre i dati delle elezioni di interesse dalla piattaforma Eligendo al link Eligendo Archivio .