Quanti triangoli rettangoli?

Quanti triangoli rettangoli?

Il compito che vi presento in questo contributo, in analogia alle situazioni problematiche che già vi ho illustrato e che mi piace condividere, non richiede l’applicazione di procedure note ed è piuttosto aperto, cioè consente molteplici risposte, dalle più semplici a quelle più articolate e impegnative. In questo modo penso che voi siate facilitati nell’adattarlo alle vostre classi, aderendo nel modo che ritenete più opportuno alla situazione cognitiva dei vostri alunni. 

Come per i compiti precedenti posso aggiungere che il problema è adatto a un’attività svolta in gruppi collaborativi ma ovviamente potrebbe essere assegnato anche come compito a distanza, prevedendo in un momento successivo la raccolta e la discussione degli esiti. 

Il testo che propongo, di cui fornisco anche la scheda scaricabile per utilizzarla in un contesto di didattica a distanza, è il seguente:

Sul foglio è stato disegnato un lato di un triangolo rettangolo.

  1. Completa il disegno.
  2. Riesci a disegnare altri triangoli rettangoli con lo stesso lato fissato? Quanti?
  3. Giustifica bene le tue risposte e scrivi tutte le tue osservazioni.

La situazione proposta non è usuale, anche per la posizione non standard della quadrettatura fornita come supporto grafico. L’allievo, dunque, deve cercare di mantenere il controllo dell’intera costruzione, in particolare dell’angolo retto che caratterizza il triangolo richiesto, utilizzando gli strumenti che può avere a disposizione (righello, squadra, compasso, carta quadrettata…).

Diverse sono le soluzioni possibili. Se il segmento fornito è pensato come uno dei due cateti del triangolo, a seconda della posizione dell’angolo retto su un estremo o l’altro del lato, si ottengono rispettivamente soluzioni analoghe alle seguenti, tracciando a piacere il secondo cateto, seguendo la guida della quadrettatura per individuare il terzo vertice.

Se invece il lato assegnato è pensato come l’ipotenusa del triangolo rettangolo e sempre ricercando il terzo vertice nei punti indicati dalla quadrettatura, occorre costruire in modo adeguato l’angolo retto opposto al segmento assegnato; in questo caso si ottengono solo due triangoli rettangoli, che risultano isosceli: quello in figura e il suo simmetrico.

L’indagine richiesta ai punti 2. e 3. del compito è un po’ più complessa, perché dovrebbe guidare lo studente a intuire la molteplicità dei triangoli rettangoli rappresentabili a partire dal lato assegnato (o addirittura a intuirne l’infinità se si ammette di prolungare a piacere la quadrettatura proposta).

Si richiede inoltre la motivazione delle risposte date e la formulazione di osservazioni personali, attività certamente non semplice ma che promuove di solito una maggiore consapevolezza delle intuizioni spontanee degli alunni.

Riflettendo sull’ambiente geometrico assegnato alla ricerca di altri triangoli rettangoli si nota che, nel caso in cui il lato dato sia pensato come uno dei cateti, il terzo vertice della figura si trova sempre sulla retta perpendicolare al segmento e passante per uno dei due estremi, a seconda della posizione dell’angolo retto; queste rette sono facilmente individuabili grazie alla quadrettatura. 

Dunque i punti che individuano il terzo vertice del triangolo rettangolo sono molteplici, come di conseguenza le raffigurazioni possibili del triangolo.

Anche se non si giunge all’intuizione dell’infinità delle soluzioni, possono essere formulate comunque osservazioni parziali interessanti in merito alla possibilità di più figure rappresentabili. Si può notare per esempio che, una volta rappresentato un triangolo, in realtà se ne possono individuare subito altri tre, uno simmetrico rispetto al lato assegnato, un secondo simmetrico rispetto al punto medio dello stesso e un terzo simmetrico rispetto all’asse del segmento.

Se si considera il lato assegnato come ipotenusa, è possibile costruire solo due triangoli rettangoli con l’ausilio della quadrettatura fornita, cioè cercando il terzo vertice del triangolo solo agli incroci della quadrettatura: l’esempio riportato precedentemente e il suo simmetrico rispetto all’ipotenusa stessa. 

Potrebbe essere però interessante notare (e qualche alunno potrebbe proporlo) che se la ricerca del terzo vertice non si limita agli incroci della quadrettatura, allora anche in questo caso i triangoli rettangoli sono infiniti: sono quelli, infatti, inscrivibili nella circonferenza di diametro il segmento assegnato (cioè l’ipotenusa) e centro il suo punto medio; si possono disegnare, quindi, infiniti triangoli rettangoli individuando il terzo vertice fra gli infiniti punti della circonferenza tracciata.

Naturalmente, se si amplia la ricerca a tutti i punti della quadrettatura, senza dunque limitarsi agli incroci, “aumenta” anche la numerosità dei triangoli rettangoli già considerati, cioè quelli che hanno il segmento assegnato come uno dei due cateti: ogni punto su una delle due rette perpendicolari al segmento dato può essere il terzo vertice del triangolo rettangolo cercato. Raccogliere e soprattutto formulare insieme e scrivere le osservazioni che emergono dalla classe, che si ottengono come espressione finale di quanto si discute e alla fine si condivide, non è un’attività semplice ma risulta sempre molto efficace, fissando le conclusioni dell’attività in modo permanente, accessibile dunque a ognuno anche nel seguito.

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