Piegare per spiegare: prodotti notevoli di carta

Piegare per spiegare: prodotti notevoli di carta

In questo articolo vi propongo, dati due numeri $a$ e $b$, di far scoprire ai vostri studenti la formula del quadrato della loro somma e della differenza dei loro quadrati, piegando la carta.

La lezione può essere adattata alla didattica a distanza: tramite webcam mostrerete la piegatura e la eseguirete con gli studenti e, successivamente, potrete lasciare loro del tempo in asincrono per sperimentare, con l’obiettivo di rispondere alle domande che troverete dopo le istruzioni di piegatura. 

Per piegare il modello occorrerà per ogni alunno un quadrato di carta bicolore di circa $15$ cm di lato. 

Cominciamo a dare le istruzioni di piegatura per arrivare al modello che sarà alla base delle nostre investigazioni. Per aiutarvi, indicherò con una linea tratteggiata la piega da eseguire.

Passo 1

Parte bianca sopra. Esegui una piega a piacere parallela a uno dei lati (ma che non coincida con uno degli assi di simmetria del quadrato).

Figura 1

Passo 2

Porta ora il lato corto colorato posto in basso a destra sul lato lungo colorato interno. Il risultato è mostrato nella figura 3. 

Figura 2

Passo 3

Figura 3

In basso a destra si è formato un triangolino isoscele rettangolo. 

Senza riaprire, piega verso l’interno il lato corto bianco a destra, eseguendo una piega che si appoggi al cateto “verticale” del triangolino.

In questo modo, nel modello finale, le due pieghe risultanti parallele ai lati del quadrato avranno la stessa distanza dai lati stessi.  

Passo 4

Figura 4

Ora riapri tutte le pieghe fatte, ottenendo il modello della figura 5.  

Figura 5

Il quadrato di partenza resta diviso in varie figure geometriche. In particolare, si evidenziano i quadrati $EICL$ e $EGAF$, i rettangoli $FBIE$ e $ELDG$ e vari triangoli. Chiamiamo $a$ la misura del segmento $LE$ e $b$ quella del segmento $EF$ (che gli studenti possono colorare con colori diversi, direttamente sul foglio).

A questo punto siamo pronti per la prima domanda.

1) Utilizzando le misure $a$ e $b$, esprimi l’area del quadrato $ABCD$ come quadrato di un suo lato. Calcola poi l’area in almeno due modi diversi, usando i poligoni che leggi sul foglio.

L’area si esprime come ${\left( {a + b} \right)^2}$ e si può ottenere per esempio come somma delle aree dei quadrati $EICL$ e $EGAF$ e dei rettangoli $FBIE$ e $ELDG$: ${a^2}+{b^2}+2ab$. Oppure, come somma delle aree del quadrato $EICL$ e dei rettangoli $FLDA$ e $EFBI$: ${a^2}+{\left( {a + b} \right)b}+ab$. Gli studenti potranno anche trovare altre soluzioni. Faremo notare che, svolgendo i conti, si ottiene sempre la formula compatta ${a^2}+{b^2}+2ab$, che useremo allora per calcolare il quadrato della somma.

2) Per proseguire nel gioco, osserviamo che ${\left({a+b}\right)^2}={a^2}+{b^2}+2ab$ ci fornisce anche ${a^2}+{b^2}={\left({a+b}\right)^2}-2ab$.
C’è una formula che ci permette di esprimere ${a^2}-{b^2}$?

Geometricamente ${a^2}-{b^2}$  corrisponde a calcolare la differenza tra le aree dei quadrati $EICL$ e $EGAF$. Per visualizzarle possiamo piegare il modello lungo la linea passante per $E$ ed $H$, ottenendo prima la figura 6 e poi, piegando a monte per nascondere i due trapezi bicolori, la figura 7.


Figura 6

Figura 7

Notiamo che ${a^2}-{b^2}$ rappresenta l’area bianca in figura 7. Possiamo, muovendo la carta, trovare un poligono equivalente ma la cui area sia più semplice da calcolare?

Descriveremo due possibili manovre per farlo e ci concentreremo sulla misurazione della parte bianca di carta:

i) riapriamo il trapezio a destra, aggiungendo un rettangolo bianco all’area bianca in figura 7 (vedi figura 8);

ii) per levare un’area equivalente, riapriamo anche l’altro trapezio (piega orizzontale) e ribaltiamolo sulla parte bianca, nascondendo un’area bianca esattamente uguale a quella aperta in i), come mostra la figura 9.

Figura 8

Figura 9

Calcoliamo ora l’area ${a^2}-{b^2}$ usando il rettangolo bianco equiesteso. Per fare questo basta notare che il lato lungo del rettangolo misura $a+b$ e quello corto $a-b$. Otteniamo quindi l’uguaglianza:

${a^2}-{b^2}=\left({a+b}\right)\left({a-b}\right)$

                            Buone pieghe!

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