Somme di vettori di carta

Somme di vettori di carta

Si avvicinano le vacanze di Natale e gli studenti potrebbero approfittare di questa pausa per rivedere alcuni argomenti svolti. Possiamo allora proporre una piccola attività origami sulle somme di vettori.
Ogni studente deve procurarsi almeno due foglietti quadrati con la stessa misura di lato (possono ritagliarli anche da fogli a quadretti, non è necessaria la carta origami).

Se volete che lavorino da soli, potete spedire la sequenza fotografica senza i commenti matematici (basta salvare le immagini nell’articolo) o registrare un breve video.

Ecco le indicazioni di piega e i commenti.

1.  Pieghiamo una diagonale del quadrato e riapriamo.

2. Consideriamo due lati opposti del quadrato e pieghiamoli sulla diagonale.

3. Ribaltiamo il modello. Che figura abbiamo ottenuto? La figura è un parallelogramma e potete anche chiedere di dimostrarlo

A questo punto coloriamo, come fossero due vettori, i due lati che escono da uno dei vertici della diagonale e, in un altro colore, la diagonale stessa (sempre come vettore che esce dal vertice scelto).

La diagonale rappresenta la somma dei due vettori che giacciono sui lati colorati! 

Il vantaggio della carta non è solo quello di fornire immediatamente il parallelogramma ma anche di visualizzare e rendere tangibile il fatto che due vettori (e la loro somma) sono sempre complanari. Gli studenti potranno anche muovere il parallelogramma nello spazio ottenendo diverse posizioni del piano. Questo può essere utile quando, in Fisica o Matematica, si avrà la necessità di lavorare in 3D (per esempio con i momenti angolari o con i piani nello spazio).  

Possiamo fare ulteriori considerazioni piegando anche il secondo foglietto.

Eseguiamo le pieghe descritte in 1., 2.. E ora procediamo come segue.

3’. Consideriamo l’altra coppia di lati del quadrato (quelli non piegati in 2.) e portiamoli a loro volta sulla diagonale.

4’. Ribaltiamo il modello. Che figura abbiamo ottenuto? Un rombo.

A questo punto procediamo come prima nel colorare i tre vettori uscenti da un vertice della diagonale: nuovamente la diagonale descriverà la somma dei vettori che poggiano sui lati del rombo.

Rispetto a prima cosa cambia? Questa volta abbiamo sommato due vettori con lo stesso modulo, e il parallelogramma diventa un rombo.

Invitate gli studenti a riflettere sulle seguenti domande: e se oltre ad avere lo stesso modulo, i due vettori di partenza fossero perpendicolari tra loro, che figura si otterrebbe? E se fossero perpendicolari ma di modulo diverso? Queste considerazioni li aiuteranno ad abbinare condizioni di lunghezza e /o posizione reciproca con i diversi quadrilateri (parallelogrammi, rombi, quadrati e rettangoli) che appaiono nella somma. 

Potete anche far disegnare, in entrambi i modelli, la differenza dei vettori che sarà rappresentata dalla seconda diagonale del parallelogramma e del rombo. 

Che proprietà ha la differenza nella situazione descritta dal rombo? La differenza è perpendicolare alla somma dei due vettori! Proprietà caratteristica legata a due vettori dello stesso modulo.

Potete chiedere come esercizio di dimostrarlo usando le proprietà dei prodotti scalari (se note alla classe): $\vec{v}+\ \vec{w}$  è perpendicolare a $\vec{v}-\ \vec{w}$  se e solo se il loro prodotto scalare è nullo cioè

$\left(\vec{v}+\ \vec{w}\right)\ \bot\left(\vec{v}-\ \vec{w}\ \right)$ se e solo se  $\left(\vec{v}+\ \vec{w}\right)\cdot(\vec{v}-\ \vec{w} ) =0$

Sviluppiamo il primo membro del prodotto scalare, applicando la proprietà distributiva:

$\left(\vec{v}+\ \vec{w}\right)\cdot(\vec{v}-\ \vec{w}\ )\ =\vec{v}\cdot\vec{v}-\vec{v}\cdot\vec{w}+\ \vec{w}\cdot\vec{v}-\ \vec{w}\cdot\vec{w}=|\vec{v}\ |-\left|\ \vec{w}\ \right|$

Quindi il primo membro sarà 0 se e solo se $|\vec{v}\ |=\left|\ \vec{w}\ \right|$.

Concludiamo quindi che

$\left(\vec{v}+\ \vec{w}\right)\ \bot\left(\vec{v}-\ \vec{w}\ \right)$      se e solo se      $|\vec{v}\ |=\left|\ \vec{w}\ \right|$

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