Quando introduciamo in classe le posizioni reciproche di due circonferenze, il rischio è quello di ridurle a una lista di parole da imparare a memoria senza coglierne a pieno la natura.
Ma cosa significano davvero queste parole? E come possiamo renderle “vive” per le nostre studentesse e i nostri studenti?
Per iniziare, può essere utile guardarsi attorno e trovare esempi quotidiani che richiamano queste configurazioni. Ecco alcuni spunti di immagini stimolo da proiettare in classe per introdurre il vocabolario tecnico:
- gli occhiali possono richiamare due circonferenze esterne
- due piatti vicini rappresentano due circonferenze tangenti esternamente
- alcune monete parzialmente sovrapposte possono essere circonferenze secanti
- un rotolino di nastro adesivo appoggiato all’interno di uno più grande ci aiuta ad immaginare due circonferenze tangenti internamente
- un pallone da basket che si infila dentro al canestro può rappresentare due circonferenze interne
- un bersaglio per il gioco delle freccette contiene molte circonferenze concentriche
Dopo aver mostrato questi esempi, invitiamo le studentesse e gli studenti a una caccia alle immagini: per compito ciascuno dovrà disegnare, fotografare, ritagliare da riviste o cercare online oggetti che rappresentano tutte le situazioni possibili. Si costruirà così una galleria condivisa, utile non solo a fissare i concetti, ma anche ad arricchire il lessico matematico con esperienze concrete.
Il passo successivo è passare all’ambiente dinamico di GeoGebra dove chiederemo a ciascuno di realizzare una semplice costruzione seguendo questi passaggi:
- Parti da un foglio pulito, senza assi né griglia;
- crea tre slider di nome $R$, $r$ e $d$. Per ciascuno seleziona la tipologia numero e consenti di passare da $0$ e $20$ con incremento di $1$;
- crea un segmento di lunghezza fissa di misura $R$ e usalo come raggio per la prima circonferenza;
- a partire dal centro crea un segmento di lunghezza fissa di misura $d$ per individuare il centro della seconda circonferenza;
- crea un segmento di lunghezza fissa di misura $r$ e usalo come raggio per la seconda circonferenza;
- pulisci l’immagine nascondendo le etichette e i punti non utili;
- completa l’immagine cambiando i colori dei tre segmenti per poterli distinguere e colora nello stesso modo gli slider associandoli correttamente.
Se si preferisce fornire un file già pronto, si può usare questo link.
A questo punto, chiederemo alla classe di selezionare con gli slider le misure indicate di volta in questa scheda e di annotarvi la posizione reciproca che le varie combinazioni generano.
Terminati gli esempi presenti nella tabella, sarà il momento di ragionare un po’ con i numeri: nella colonna $R-r$ va segnata la differenza tra i due raggi; in $R+r$ la loro somma; infine, nella colonna “Confronto” si scriverà la disuguaglianza che rappresenta correttamente il confronto tra $d$ e questi ultimi due numeri (per esempio: $d<R-r$, oppure $d=R+r$). La prima riga è stata già compilata come esempio.
Dopo un veloce confronto per assicurarci che tutti abbiano ottenuto lo stesso risultato, potremo lasciare alle studentesse e agli studenti la libertà di sperimentare nuove configurazioni tenendo sempre traccia dei propri tentativi nella tabella.
Durante questo lavoro, stimoliamo ragazze e ragazzi a provare a indovinare la posizione che le circonferenze assumeranno. Invitiamoli a utilizzare la tabella e a confrontare la disuguaglianza ottenuta con quelle precedenti, usando GeoGebra solo per controllare la correttezza del proprio ragionamento. In poco tempo, tutti arriveranno a comprendere questa corrispondenza:
- se $d>R+r$ → circonferenze esterne
- se $d=R+r$ → tangenti esternamente
- se $R-r<d<R+r$ → secanti
- se $d=R-r$ → tangenti internamente
- se $d<R-r$ → interne
- se $d=0$ → concentriche
In questo modo le ragazze e i ragazzi scopriranno che dietro un semplice paio di occhiali o un bersaglio da freccette si nasconde la stessa matematica che governa le figure su GeoGebra. Le circonferenze sono oblò da cui osservare il mondo con occhi matematici, dal banco di scuola fino agli oggetti di tutti i giorni.