Nella scuola secondaria di primo grado uno dei primi argomenti complessi per le studentesse e gli studenti di classe prima è certamente l’approssimazione per arrotondamento. Per questo, per ripassare insieme le regole, ho pensato ad alcune attività correlate alla stagione autunnale e alla festa di Halloween che tanto attrae i nostri ragazzi.
La prima attività di ripasso è dedicata all’arrotondamento di numeri interi.
Immaginiamo di essere a un mercato fantastico nel villaggio di Halloween. Qui la moneta di scambio è la “zucchetta” e possiamo immaginare la seguente tabella dei prezzi.
Propongo alle studentesse e agli studenti di arrotondare dapprima alle decine e in seguito alle centinaia.
| Prodotto stregato | Prezzo (in zucchette) | Arrotonda alle decine | Arrotonda alle centinaia |
|---|---|---|---|
| Zucca gigante | $47$ | ||
| Mela caramellata | $123$ | ||
| Biscotti di pipistrello | $68$ | ||
| Candela profumata | $134$ | ||
| Cappello da strega | $245$ | ||
| Pozione arcobaleno | $399$ | ||
| Ragnatela decorativa | $312$ | ||
| Mantello magico | $179$ |
Al termine di questa prima attività, una riflessione ci porta a chiedere quale prodotto abbia cambiato di più il suo valore in seguito all’arrotondamento:
- nell’arrotondamento alle decine, il prodotto che ha la differenza maggiore è il cappello da strega con $5$ zucchette in più
- nell’arrotondamento alle centinaia troviamo invece la zucca gigante con una diminuzione di $47$ (perché l’arrotondamento porta a $0$).
Propongo in seguito una seconda attività, di maggiore difficoltà perché prevede di effettuare l’approssimazione con i numeri decimali.
Creiamo la “pozione dell’autunno”, ma gli ingredienti sono dosati con quantità troppo precise: bisogna arrotondarli prima che la pozione trabocchi!
| Ingrediente magico | Quantità reale | Arrotonda alle unità | Arrotonda ai decimi |
| Polvere di zucca | $12,73$ g | ||
| Sciroppo di mirtillo | $48,36$ ml | ||
| Ali di pipistrello tritate | $76,81$ g | ||
| Lacrima di luna | $103,68$ ml | ||
| Zucchero stregato | $59,29$ g | ||
| Succo di castagna | $8,54$ ml | ||
| Nebbia di palude | $24,92$ ml | ||
| Petali di dalie essiccati | $111,47$ g | ||
| Somma |
Al termine di questo esercizio sommiamo le tre colonne e osserviamo come cambiano questi risultati. Le studentesse e gli studenti possono notare come con l’arrotondamento all’unità la precisione diminuisca significativamente, mentre la somma dei valori reali e quelli arrotondati ai decimi si equivalgono.
Possiamo così ragionare sulla piccola variazione che si effettua nell’arrotondamento ai decimi: alcuni numeri aumentano leggermente, altri diminuiscono leggermente. Queste piccole variazioni si compensano tra loro quando si sommano tra loro tutti i numeri.
Ogni volta che arrotondo ai decimi, perdo o guadagno al massimo cinque centesimi.
Se lo faccio su otto ingredienti, posso sbagliare al massimo di $8\times0,05=0,40$.
Ma se alcuni arrotondamenti aumentano il valore e altri lo diminuiscono, ecco che l’errore totale può anche annullarsi, come in questo caso, ma non sarà sempre così.
In conclusione possiamo dire che gli errori di arrotondamento positivi e negativi si bilanciano e il cambiamento massimo possibile per ogni numero è di soli $0,05$, troppo piccolo per influenzare di molto il totale.
Come “gioco” finale, se rimane del tempo, chiedo alle studentesse e agli studenti di inventare ognuno un ingrediente aggiuntivo con la rispettiva quantità reale (che possieda $2$ cifre decimali); per esempio: “Bava di rospo”, $35,42$ ml. Poi, a coppie, i ragazzi si scambiano l’ingrediente inventato e devono arrotondarne la quantità alle unità e ai decimi.
Vedrete che sarà più il tempo trascorso a pensare all’ingrediente magico che quello per effettuare l’esercizio aritmetico!