L’inquinamento acustico: un’esplorazione attraverso i logaritmi

L’inquinamento acustico: un’esplorazione attraverso i logaritmi

Quando si parla di impatto dell’attività antropica sull’ambiente e sulla salute umana difficilmente si pensa anche all’inquinamento acustico1, un problema poco noto e dibattuto al quale è dedicato questo spunto di Educazione civica e che, secondo l’EEA (European Environment Agency), ha un impatto dannoso per la salute almeno sul $20\%$ della popolazione europea, con ripercussioni sulla qualità del sonno, sull’apparato uditivo, sul sistema cardiovascolare e metabolico e, nei bambini, addirittura sulle facoltà cognitive.

Diversi studi condotti a partire dagli anni ‘$90$ sulla correlazione tra l’esposizione ad alti livelli di rumore da traffico veicolare e l’incidenza di cardiopatie ischemiche hanno indotto l’OMS a pubblicare nel $2019$ delle linee guida per il rumore, ritenuto secondo soltanto all’inquinamento da particolato atmosferico tra le cause ambientali di problemi alla salute.

Dal punto di vista normativo, la direttiva europea sul rumore ambientale (END – Environmental Noise Directive) costituisce il principale riferimento e si prefigge di armonizzare, a livello europeo, i sistemi di monitoraggio dell’esposizione all’inquinamento acustico e gli sforzi per ridurre il problema, pur senza fissare un comune livello di abbassamento. In Italia la direttiva END è stata recepita dal D.Lgs. $19$ agosto $2005$ n. $194$, che definisce le competenze e le procedure per: “a) l’elaborazione della mappatura acustica e delle mappe acustiche strategiche […]” su base quinquennale, “b) l’elaborazione e l’adozione dei piani di azione, volti ad evitare e a ridurre il rumore ambientale”, “c) assicurare l’informazione e la partecipazione del pubblico in merito al rumore ambientale ed ai relativi effetti”.

In questa attività, rivolta a studentesse e studenti del secondo biennio e quinto anno, vi propongo i seguenti spunti, che certamente non esauriscono la complessità del problema, ma che rappresentano un punto di partenza per la sensibilizzazione verso la tematica e un collegamento tra argomenti di Matematica e di Fisica: 

  • l’introduzione del concetto di (deci)bel mediante i logaritmi e un breve confronto tra scala lineare e scala logaritmica;
  • gli indicatori dell’inquinamento acustico e il loro significato;
  • la dipendenza dell’inquinamento acustico da traffico veicolare dal numero e dalla velocità media dei veicoli in transito, attraverso l’analisi di semplici funzioni.

Il decibel e la scala logaritmica

Qualunque considerazione riferita all’inquinamento acustico non può prescindere dalla conoscenza del decibel (dB), su cui si basa la misura dell’intensità sonora. Il primo punto da sottoporre alle studentesse e agli studenti è pertanto la definizione del bel, come il logaritmo in base $10$ del rapporto tra due grandezze omogenee $A$ e $B$. Si ottiene dunque $1$ B se $A=10B$ ($1=\log \dfrac{10B}{B}$). Il decibel è la decima parte del bel. Occorrerà pertanto introdurre o richiamare il concetto di logaritmo.

Vale la pena focalizzare l’attenzione su due punti: il fatto che il bel (e il decibel) esprimano la misura di un rapporto e quindi siano adimensionali e il fatto che essi non esprimano il valore di questo rapporto in una scala lineare, ma in una scala logaritmica.

Quando e perché utilizzare una scala logaritmica? Possiamo aiutarci con alcuni esempi. Se volessimo confrontare l’altezza $h_{\max }$ di un essere umano adulto (media $1,80$ m) con il valore alla nascita $h_{\min }$ (media $0,5$ m) e volessimo rappresentare su un grafico, in funzione del tempo, l’andamento del rapporto di questo valore nel corso della vita umana, avremmo una variazione della variabile dipendente nell’intervallo $1$-$3,6$, a fronte di una variazione di un ordine di grandezza maggiore nel tempo. Passando al logaritmo decimale del rapporto, la variazione sarebbe in un intervallo ancora più compresso sull’asse delle ordinate: $0$-$0,556$, cioè un andamento pressoché piatto!

Qualcosa di simile succederebbe volendo esprimere in bel i valori di una temperatura o dell’allungamento di una molla sottoposta a carichi crescenti. In generale, per tutte le grandezze che assumono valori in un range molto limitato (entro un ordine di grandezza) una rappresentazione su scala logaritmica non è di particolare utilità. Termometri, dinamometri e moltissimi degli strumenti di uso quotidiano utilizzano una scala lineare, anche perché traducono una relazione tra grandezza (causa) e deformazione (risposta) che è appunto lineare. I suoni, invece, sono il risultato della propagazione di una perturbazione della pressione di un mezzo elastico (per esempio l’aria), che oscilla creando zone compresse e zone più rarefatte, la cui pressione si discosta, rispetto al valore di riferimento (tipicamente la pressione atmosferica) di un fattore che varia entro un intervallo ampio diversi ordini di grandezza. La minima variazione di pressione generata da una sorgente, $\Delta p$, che il nostro apparato uditivo è in grado di rilevare corrisponde a $20$ μPa (soglia di udibilità, $\Delta p_{0}$), mentre la massima variazione che possiamo sopportare corrisponde a $20$ Pa: in altre parole, il nostro orecchio è uno strumento di misura che può apprezzare fino a un milione di volte la variazione minima. È evidente dunque che la scala logaritmica obbedisce alla necessità di “comprimere” un intervallo così ampio. Possiamo consolidare questo concetto attraverso il completamento di una tabella di questo tipo (alcuni dati sono forniti come guida), che esprimerebbe la conversione in bel delle variazioni di pressione associate ad alcune tipiche sorgenti di onde sonore:

Tabella 1 – Variazioni di pressione determinate da alcune sorgenti

Sorgente sonoraVariazione di pressione (μPa)$\dfrac{\Delta p}{\Delta p_{0}}$$log\dfrac{\Delta p}{\Delta p_{0}}$[bel]dB
Respiro$\approx 60$$3$$\approx 0.5$$5$
Fruscio di foglie$200$$10$$1$$10$
Persone che sussurrano$1,5$
Frigorifero$2000$$2$
Conversazione normale a $1$ m$2000$-$20000$$100$-$1000$$2$-$3$$20$-$30$
Automobile$4$$40$
Elicottero$100000$$5$
Sirena$6$
Fuoco d’artificio$7$

Il passaggio da bel a decibel (ultima colonna) è necessario per “allargare” un po’ la scala, moltiplicandola per il fattore $10$. 

La tabella è utile inoltre per comprendere un’altra proprietà fondamentale della scala logaritmica: un intervallo “unitario” non corrisponde sempre alla medesima variazione della grandezza, piuttosto a una variazione del medesimo fattore. Così, passare da $1$ bel a $2$ bel significa passare da $200$ μPa a $2000$ μPa (dunque una variazione di $1800$ μPa), mentre passare da $2$ bel a $3$ bel significa passare da $2000$ μPa a $20000$ μPa (cioè una variazione di $18000$ μPa). D’altra parte, se uno strumento risponde in maniera logaritmica, ed è questo il caso del nostro orecchio (così come del nostro occhio), una variazione di $100$ μPa sarà significativa nell’intervallo $200$ μPa -$300$ μPa (da $1$ bel a $1,18$ bel), ma sarà irrilevante nell’intervallo $200000$ μPa -$200100$ μPa (da $4$ bel a $4,0002$ bel)2.

È opportuno a questo punto chiarire la differenza tra il livello di intensità sonora (SIL) e il livello di pressione sonora (SPL), che sono correlati dalle proprietà dei logaritmi.

Il livello di intensità sonora è definito dalla seguente formula:

$L_{I}=10\log \dfrac{I}{I_{0}}$

in cui $I$ è l’intensità emessa dalla sorgente (energia dell’onda che attraversa l’unità di superficie nell’unità di tempo, in W/m$^{2}$) e $I_{0}$ è il livello di riferimento, che corrisponde alla soglia di udibilità, che corrisponde a $10^{-12}$ W/m$^{2}$.

Il livello di pressione sonora o livello sonoro è invece dato da:

$L_{p}=10\log \dfrac{\Delta p^{2}}{\Delta p_{0}^{2}}$

in cui $\Delta p$ e $\Delta p_{0}$ sono, rispettivamente, la variazione di pressione prodotta dall’onda e quella di riferimento.

Poiché l’intensità di un suono è proporzionale al quadrato della variazione di pressione, ne segue che:

$L_{I}=10\log \dfrac{I}{I_{0}}=10\log \dfrac{\Delta p^{2}}{\Delta p_{0}^{2}}=20\log\dfrac{\Delta p}{\Delta p_{0}}=L_{p}$

L’ultimo passaggio traduce la proprietà del logaritmo di una potenza. La scala cui siamo abituati nella nostra vita quotidiana dei “volumi” di un suono è riferita alle intensità o ai quadrati della variazione di pressione. Quindi, in termini di livello sonoro, i valori in dB associati alle sorgenti della Tabella 1 (ultima colonna) vanno raddoppiati. La sirena di un’ambulanza, pertanto, ha un livello sonoro di $120$ dB, che è prossima alla soglia del dolore ($130$ dB).

Una conseguenza importante dell’introduzione del livello di intensità sonora3 è che l’effetto risultante dalla sovrapposizione di più sorgenti si traduce in una somma delle intensità, ma non in una somma dei livelli di intensità: due sorgenti che emettono suoni da $30$ decibel non sono equivalenti a una sorgente che emette un suono da $60$ dB, bensì a una sorgente da $33$ dB. Possiamo infatti far dimostrare alle studentesse e agli studenti che, detti $L_{1}$ e $L_{2}$ i livelli sonori associati a due sorgenti e $I_{1}$ e $I_{2}$ le corrispondenti intensità, e posta $I_{tot}=I_{1}+I_{2}$, si ottiene che il livello sonoro associato $L_{tot}$ è dato da:

$L_{tot }=10\log \left( 10^{\dfrac{L_{1}}{10}}+10^{\dfrac{L_{2}}{10}}\right) $

Gli indicatori del livello acustico: $L_{den}$ e $L_{night}$

Per valutare l’esposizione al rumore vengono comunemente usati due indicatori, $L_{den}$ e $L_{night}$, cui fa riferimento anche la direttiva END, oltre alla normativa italiana vigente in materia. Entrambi questi indicatori sono dei livelli sonori equivalenti ponderati. Poiché il livello sonoro in un determinato punto dello spazio non è in generale costante in un intervallo finito di tempo $\Delta t$, si usa un valore $L_{eq}$ che rappresenta il livello sonoro costante cui è associata, nel tempo $\Delta t$, la stessa energia del segnale variabile nel medesimo intervallo. Inoltre, $L_{den}$ è una media pesata dei valori giorno-sera-notte (day-evening-night, da cui “den”) dei livelli sonori registrati nell’arco delle $24$ ore, mentre $L_{night}$ è la media sui valori nelle ore notturne4. Entrambi gli indicatori sono determinati nel periodo di osservazione di un anno. La direttiva END raccomanda il monitoraggio delle aree con $L_{den}\geq 55$ dB e $L_{night }\geq 50$ dB, tuttavia i livelli indicati dall’OMS per evitare danni alla salute sono ancora più bassi: 

  • $30$ dB durante la notte nelle camere da letto per una buona qualità del sonno;
  • $35$ dB durante le lezioni scolastiche;
  • $<40$ dB di media annua $L_{night}$ fuori dalle camere da letto.

Un utile esercizio, che coinvolge equazioni logaritmiche, può essere quindi determinare la riduzione percentuale di intensità che corrisponde a passare dai valori di attenzione a quelli raccomandati.

Traffico veicolare e fattori che incidono sull’inquinamento acustico

È stato rilevato che nelle aree urbane la principale sorgente di inquinamento acustico è rappresentata dal traffico veicolare. Il rumore prodotto dai mezzi di trasporto dipende dal loro numero (flusso di trasporto), dalla loro tipologia (un autocarro è più rumoroso di un’automobile) e dalla loro velocità5. I due fattori, tuttavia, agiscono in direzione opposta: le strade più sgombre, infatti, producono un aumento della velocità media, per cui una riduzione del flusso, di per sé, non è garanzia di riduzione del rumore. Gli incentivi alla mobilità sostenibile, all’utilizzo di mezzi di trasporto pubblici o di biciclette si rivelano pertanto più efficaci se accoppiati ad altre misure, quali per esempio la riduzione della velocità media nei centri urbani, favorendo così anche una riduzione dell’inquinamento atmosferico e degli incidenti stradali.

La dipendenza del livello sonoro dai parametri menzionati è descritta da una molteplicità di modelli teorici, più o meno semplificati, prodotti da numerosi studi di diversi Paesi6, che cercano di riprodurre i dati sperimentali osservati su periodi più o meno lunghi. Pressoché tutti i modelli propongono una dipendenza del livello sonoro dal flusso di traffico di tipo logaritmico:

$L=a\log Q$ (*)

in cui $L$ rappresenta il livello sonoro e $Q$ il numero di veicoli in transito per ora. La costante $a$ varia da modello a modello, ma il suo valore è sempre prossimo a $10$. Per valori della velocità media piccoli (inferiori a $50$ km/h), questa relazione costituisce una buona approssimazione del livello sonoro generato dal traffico veicolare. Una prima attività da svolgere con le studentesse e gli studenti può essere dunque la rappresentazione grafica (anche mediante GeoGebra) della funzione (*) per dedurne le principali caratteristiche e determinare l’aumento in dB corrispondente, per esempio, a un raddoppio o a un dimezzamento del flusso.
Successivamente si può passare ad analizzare un modello più sofisticato, come quello elaborato dal CNR (Consiglio Nazionale delle Ricerche), che tiene conto di diversi parametri e fattori correttivi. Concentrandosi solo sui fattori direttamente legati ai veicoli, la relazione da proporre alle studentesse e agli studenti assume la forma:

$L_{eq}=\alpha +10\log \left( Q_{L}+\beta Q_{p}\right) +\Delta L_{v}$

in cui $Q_{L}$ e $Q_{P}$ sono, rispettivamente, i flussi di veicoli leggeri e pesanti, e per la maggior parte delle strade italiane $\alpha =35,1$ dB e $\beta =6$. $\Delta Lv$, il fattore correttivo proposto che tiene conto della velocità, è riportato in Tabella 2:

Tabella 2

Velocità media (km/h)$\Delta L_{v}$(dB)
$30$-$50$$0$
$60$$1$
$70$$2$
$80$$3$
$100$$4$

Un utile esercizio è quello di rappresentare graficamente $\Delta L_{v}$ in funzione della velocità e provare a estrapolare la dipendenza funzionale, eventualmente cercando quella che meglio si adatta ai dati.  


1 Il $26$ aprile $2023$ si è celebrata la $28$-esima Giornata internazionale della consapevolezza dei pericoli di esposizione a lungo termine al rumore (INAD – International Noise Awareness Day). Informazioni ai seguenti link: About INAD, International Noise Awareness Day.
2  La funzione lineare è caratterizzata da una velocità di variazione costante, che corrisponde al suo coefficiente angolare, mentre la funzione logaritmica ha una velocità di crescita che dipende dal suo argomento. Per valori sempre più grandi di $x$, $\log$ $x$ tende a diventare sempre più piatta e a crescere più lentamente non solo della funzione lineare ma di qualsiasi funzione potenza, anche con esponente razionale minore di $1$. Considerazioni di questo tipo possono essere propedeutiche all’introduzione del concetto di derivata prima.
3 Questo punto richiede alle studentesse e agli studenti una certa dimestichezza con i logaritmi e dunque può essere affrontato quando l’argomento è consolidato.
4 https://www.isprambiente.gov.it/files/pubblicazioni/documenti-tecnici/linee_guida_per_una_pianificazione_integrata_dellinquinamento_acustico_in_ambito_urbano.pdf (p. $17$ del documento)
5 In realtà al livello sonoro contribuiscono altri parametri di tipo strutturale, quali la pendenza e la tipologia del manto stradale, la larghezza della carreggiata, le condizioni meteorologiche. In questa attività focalizziamo l’attenzione soltanto su quelli direttamente legati ai veicoli in transito.
6 Tra i numerosi modelli citiamo il modello di Burgess, il modello di Johnson e Saunders, il modello CRTN e il modello CEE. Una review accessibile online è disponibile al link (PDF) A Review of Traffic Noise Predictive Noise Models.

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