Osservando le classi, ci rendiamo sempre più conto della crescente difficoltà nella lettura del testo, nel rispetto delle consegne, e in generale, la scarsa cura nel “fare bene le cose” e una diffusa superficialità nell’approccio allo studio. Come docenti ci troviamo spesso in bilico tra la tentazione di semplificare i concetti, di masticarli prima di offrirli, e l’esigenza di insegnare il gusto di risolvere un problema difficile, sfidante. Spesso infatti capita di dover spiegare un concetto difficile, che ha bisogno di visualizzazione oppure che mette in campo competenze diverse, per intenderci non il solito esercizio che prevede una procedura standard da cui scaturisce un risultato ben preciso. In quarta un’abilità di questo tipo è per esempio saper tracciare il grafico di una funzione goniometrica ottenuta mediante trasformazioni geometriche da una delle funzioni base. In questo contesto può essere utile ricorrere a metodologie di apprendimento attivo ma anche sfruttare la multidimensionalità lavorando sulle immagini oppure provare a sviluppare il pensiero laterale utilizzando ad esempio le thinking routines. Non basta GeoGebra per la rappresentazione grafica, occorre in qualche modo “obbligare” al ragionamento dopo aver catturato l’interesse. Ci siamo quindi inventate un’attività TEAL tramite la quale speriamo che le nostre studentesse e i nostri studenti imparino in autonomia a tracciare i grafici delle funzioni goniometriche trasformate. Come lancio scegliamo di collegare i grafici agli andamenti armonici, in particolare all’oscillazione di una boa galleggiante.
L’idea dell’attività è quella di partire dal far tracciare in GeoGebra il grafico di $y=\sin x$, poi applicare una alla volta $4$ trasformazioni (una traslazione orizzontale, una dilatazione dell’asse $x$, una dilatazione dell’asse $y$ e infine una traslazione dell’asse $y$) osservando via via le successive modificazioni del grafico. Per incentivare la discussione nei gruppi proponiamo alcune domande a risposta multipla dopo il disegno di ciascun grafico, sempre le stesse domande (riportate nell’immagine) ma applicate a grafici differenti. Queste domande sono necessarie al fine di stimolare la riflessione sulle caratteristiche dei grafici costruiti.
Osservando il grafico, rispondete alle seguenti domande (più di una risposta può essere corretta).
1. Il dominio è:
❏ R ❏ R $-\left\{ \dfrac{\pi }{2}+k\pi \right\} $ ❏ R $-\left\{ \dfrac{\pi }{2}+2k\pi \right\} $ ❏ $- \dfrac{\pi }{2}+k\pi <x < \dfrac{\pi }{2}+k\pi$
2.L’insieme immagine è:
❏ R ❏ $-1\leq y\leq 1 $ ❏ $-1 <y <1$ ❏ R $-\left\{ -1,1\right\} $
3. La funzione è:
❏ iniettiva ❏ suriettiva ❏ biunivoca ❏ iniettiva in alcuni intervalli
4. È invertibile in:
❏ R ❏ $- \dfrac{\pi }{2}+k\pi \leq x \leq \dfrac{\pi }{2}+k\pi$ ❏ $k\pi \leq x\leq \pi +k\pi$
❏ $- \dfrac{\pi }{2}+k\pi <x < \dfrac{\pi }{2}+k\pi$ ❏ $- \dfrac{\pi }{2}+k\pi <x < \dfrac{\pi }{2}+k\pi$
5. La funzione:
❏ è periodica di $\pi$ ❏ è periodica di $2\pi$ ❏ è periodica di $\dfrac{2}{3}\pi$ ❏ non è periodica
Ora generalizziamo utilizzando come parametri proprio le grandezze tipiche del moto armonico associando a ciascuna di esse uno slider che, in maniera dinamica, mostri i risultati delle trasformazioni. La funzione diventa $y=A\sin \left( \omega x+\varphi \right) +B$.
Completiamo con degli esercizi di consolidamento dal libro di testo ed infine con la fase del confronto tra gruppi.
Acquisire manualità e scioltezza nel disegnare le funzioni tornerà utile in tutti quei problemi geometrici o trigonometrici che hanno come modello appunto funzioni goniometriche. Sarà allora che si coglierà il collegamento con questi grafici e si diventerà consapevoli della potenza dello strumento posseduto.
Si tratta di un’attività molto semplice accompagnata da una scheda molto snella che però ha il vantaggio di promuovere quell’apprendimento profondo che tanto desideriamo.