Il problema delle due candele

La situazione problematica che vi propongo trae spunto, anche questa volta, da un quesito delle Prove INVALSI per la classe terza della scuola secondaria di primo grado: il testo originale è stato modificato, come precisato in nota, per rendere più aperta la situazione e consentire un’attività in classe più adatta al confronto e alla discussione. Continuando dunque nello spirito delle attività che finora vi ho descritto, anche questo problema, come vedrete, è adatto a favorire strategie risolutive differenti, argomentazioni e opportune riflessioni, che potrete richiedere a partire da un lavoro in collaborazione ma che poi saprete condividere in sede di raccolta e discussione degli esiti ottenuti.

La fase collaborativa risulta sempre fruttuosa, a mio parere, per assicurare una genuina partecipazione di tutti alla ricerca della soluzione al problema: la sollecitazione a esprimersi, sia con approvazione che con proposte alternative, di solito avviene da parte dei compagni di gruppo e spesso avrete notato con quanta efficacia ciò possa accadere, ovviamente a patto che le modalità collaborative siano diventate una condivisa metodologia, con la quale i ragazzi abbiano dunque già acquisito una buona familiarità.

Ecco dunque il testo del problema:

Due candele di cera hanno altezze diverse: la candela $A$ è alta $30$ cm, la candela $B$ $40$ cm. Vengono messe in un portacandela in posizione verticale e accese. La candela $A$ si accorcia di $0,5$ cm ogni $2$ minuti mentre la candela $B$ si accorcia di $0,5$ cm ogni minuto.
a. Scrivi due formule che esprimano la relazione tra l’altezza (in centimetri) delle due candele e il numero $n$ di minuti.
b. Dopo quanti minuti le due candele raggiungono la stessa altezza?
Giustifica la tua risposta.

Una situazione problematica di questo tipo, ambientata in un contesto reale, ha lo scopo di catturare l’attenzione degli alunni e di suscitare in loro curiosità ed è un’attività che offre la possibilità di scrivere, trasformare, interpretare formule, costituendo dunque un buon esempio di uso dell’algebra come strumento per pensare e per conoscere.

Una prima difficoltà può presentarsi nell’interpretazione del testo, cioè nel comprendere la situazione descritta: le due candele, infatti, si accorciano al passare di ogni minuto in modo diverso, una più velocemente ($B$), l’altra più lentamente ($A$). 

L’item a. richiede di scrivere una formula per ognuna delle due candele: oltre a comprendere il testo del problema occorre dunque conoscere la sintassi del linguaggio delle formule e il loro significato per un opportuno collegamento al fenomeno proposto. 

Per quanto riguarda la candela $A$, che si accorcia di $0,5$ cm ogni due minuti, cioè $0,25$ cm al minuto, indicando con $l$ la sua altezza e con $n$ il numero dei minuti, la formula potrebbe essere scritta così:

$l=30-0,25n$      oppure      $l=30-0,5\dfrac{n}{2}$      oppure     $l=30-\dfrac{1}{4}n$ 

Allo stesso modo, indicando con $L$ la sua altezza (in centimetri), la formula relativa alla candela $B$, che si accorcia di $0,5$ cm ogni minuto, può essere scritta così:

$L=40-0,5n$      oppure      $L=40-\dfrac{1}{2}n$

Per rispondere correttamente alla domanda del punto b. gli alunni possono mettere in atto le due diverse strategie seguenti, la prima che ricorre a una semplice equazione (per esempio in una terza classe), la seconda più semplice ma costruttiva:

• si possono utilizzare le formule individuate al punto a., eguagliandole così da ricavare $n$, trovando dopo quanti minuti le candele raggiungono la stessa altezza:

$30-\dfrac{1}{4}n=40-\dfrac{1}{2}n$
$120-n=160-2n$
$n=40$ minuti

• si può anche procedere in modo più elementare, calcolando le altezze delle due candele passo passo, al variare dei minuti e confrontando i risultati ottenuti fino a che l’altezza della candela $A$ non sia la stessa della candela $B$. Questa strategia, che è comunque efficace, è più lunga ma può essere anche occasione per apprezzare il ricorso più rapido alla semplice equazione che risolve il quesito, qualora semplici equazioni siano già familiari. 

Confrontando le due strategie risolutive proposte, si osserva come il linguaggio delle formule, spesso fonte di ostacoli e incomprensioni per gli studenti, si riveli in realtà molto utile per la sua economicità, per la sua capacità espressiva e per la densità di pensiero che include. 

Un possibile sviluppo di questa attività potrebbe essere la richiesta di calcolare quale sia la medesima altezza raggiunta dalle candele: sostituendo il dato relativo al tempo, calcolato all’item b. ($40$ minuti) nelle formule delle altezze, si trova che dopo $40$ minuti entrambe le candele raggiungono l’altezza di $20$ cm.

Qualora non sia ancora del tutto familiare l’ambiente equazioni o se si volesse  comunque esplorare al meglio la strategia costruttiva, potrebbe essere utile far emergere quale sia il suo utilizzo più efficace: per arrivare a uguagliare le altezze delle due candele, invece di procedere minuto dopo minuto oppure a passi di $2$ minuti ciascuno, è più rapido procedere a passi di $4$ minuti ciascuno, notando che ogni $4$ minuti la candela $A$ si accorcia di $1$ cm mentre la candela $B$ di $2$ cm: si può dunque facilmente compilare una tabella come la seguente, che mette bene in evidenza come dopo $40$ minuti entrambe le candele abbiano raggiunto la stessa altezza (di $20$ cm): 

In conclusione, è importante trovare occasioni per proporre situazioni da affrontare e risolvere attraverso la costruzione di opportune formule o rappresentazioni, senza che la strategia risolutiva sia obbligata. Quando si riescono a collegare i dati di un problema a formule che nascono in quel contesto, gradualmente elaborate dagli alunni stessi ed eventualmente collegate a opportune schematizzazioni, il simbolismo della Matematica cessa di essere un ostacolo e comincia a diventare un linguaggio più comprensibile, che si impara piano piano a dominare. È dunque importante progettare azioni didattiche che diano spazio a questi momenti, così da evitare il più possibile che gli studenti ricorrano in modo inopportuno a schemi risolutivi memorizzati e riproposti solo per abitudine.