In questo articolo mi è sembrato interessante riflettere su alcuni errori che si presentano spesso nella scuola secondaria di secondo grado, quando si ha a che fare con situazioni che propongono percentuali, che sono oggetto di insegnamento, come sappiamo benissimo, della scuola secondaria di primo grado. Le difficoltà che i quindicenni, in particolare, evidenziano in tali occasioni mettono in luce specifiche lacune nelle competenze matematiche di base collegate all’uso di percentuali e, come vedremo, possono suggerire all’insegnante di ripensare o riprogettare la relativa azione didattica. L’ampia documentazione che a questo proposito è reperibile in rete con le numerose Prove INVALSI degli ultimi anni è senza dubbio una fonte molto preziosa a questo scopo e sarà il punto di partenza di questo mio intervento. È sempre interessante andare a scoprire, nel caso di studenti un po’ più grandi, se gli strumenti che si ritiene debbano essere posseduti, perché incontrati e sviluppati in anni precedenti, siano in realtà utilizzati opportunamente, almeno nella maggioranza dei casi.
Partiamo dunque dal quesito D.7 (fascicolo 1, pagina 6)1 proposto nella Prova INVALSI per la seconda classe della scuola secondaria di secondo grado nel 2013 (e che potrebbe essere oggetto di attività didattica anche con alunni di 12-13 anni):
Per l’item a. lo studente avrebbe dovuto aver chiaro il passaggio dal modello additivo $\left( a+0,20a\right)$ al modello moltiplicativo $\left( 1,20a\right)$, passaggio basato sulla proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, per riconoscere, tra le risposte elencate, quella corretta, cioè la risposta B..
Come ho già sottolineato in altri articoli, tra gli obiettivi di apprendimento da raggiungere a conclusione del Primo Ciclo, le Indicazioni Nazionali citano proprio “Interpretare una variazione percentuale di una quantità data come una moltiplicazione per un numero decimale” e questo quesito vuole appunto verificare la presenza o meno di questa consapevolezza.
Per rispondere all’item b. si poteva osservare che l’area del primo quadrato è $a^{2}$ mentre l’area del secondo quadrato si trova elevando alla seconda il prodotto $1,20a$ (semplice proprietà delle potenze), cioè $1,44a^{2}$: si può dunque affermare che l’aumento percentuale è del $44$%.
In altro modo, peraltro equivalente a questo, si può individuare l’aumento percentuale richiesto attraverso il rapporto tra la differenza fra le aree dei due quadrati e l’area del quadrato iniziale, cioè (utilizzando ancora la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma): $\dfrac{1,44a^{2}-a^{2}}{a^{2}}=\dfrac{a^{2}\left( 1,44-1\right) }{a^{2}}=0,44=44$% (risposta C.).
Notiamo che questa seconda procedura è di tipo generale, cioè consente di trovare la variazione percentuale nel caso di un valore $A$ che sia diventato $B$. La rispettiva variazione percentuale è data dal rapporto $\dfrac{B-A}{A}$, che va scritto poi nella forma percentuale richiesta.
Nel nostro caso il procedimento generale è superfluo, poiché il valore finale è già espresso in termini percentuali del valore iniziale. Il ricorso al formalismo, tuttavia, può servire da conferma di quanto è già evidente nella situazione considerata; inoltre è sempre utile riconoscere, in un procedimento che si mette in atto subito perché familiare, l’interpretazione di una formulazione più generale.
È interessante notare che a livello nazionale i risultati ottenuti dai quindicenni che hanno affrontato il quesito sono stati davvero deludenti2: il primo item (a.) ha avuto solo il $19,8$% di risposte corrette ma un gran numero, cioè il $75,5$%, di risposte sbagliate e il $4,7$% di risposte omesse; il secondo item (b.) ha avuto solo il $14,9$% di risposte corrette, ancora un gran numero, cioè il $79$%, di risposte sbagliate e il $6,1$% di risposte omesse.
Una nota particolare riguarda la scelta, a livello nazionale, della risposta errata D. $a+ 0,20$ al primo item: ben il $46$% di studenti ha scelto questa risposta, evidenziando dunque l’incapacità di tradurre nei simboli opportuni l’aumento percentuale proposto, per passare poi dalla formulazione additiva $a+20\% a$, coerente a quanto proposto nel testo e che costituisce il primo passo della procedura, alla formulazione moltiplicativa da scegliere come risposta corretta al punto B., $1,20a$.
Quanto finora evidenziato, unito al fatto che si trovano ulteriori conferme del persistere di errori di questo tipo nelle prove nazionali più recenti e nelle esperienze quotidiane di molti insegnanti, mette in luce fin troppo chiaramente quanto sia necessario tornare a ripensare tutta l’azione didattica relativa a questo argomento e a non sottovalutare le difficoltà e i fraintendimenti che anche i vostri alunni vi manifestano.
Può dunque essere utile che proponga qui due brevi quesiti, da proporre in classe o anche a distanza, individualmente o a piccoli gruppi, per poi darvi la possibilità di sviluppare un dibattito sulle rispettive risposte, con la richiesta puntuale di motivazioni ragionate.
Se aumento $A$ del $15$% e poi diminuisco il risultato del $18$% OPPURE se diminuisco $A$ del $18$% e poi aumento il risultato del $15$% ottengo lo stesso esito? Perché?
Ovviamente si tratta di riconoscere che $1,15A\cdot 0,82=0,82A \cdot 1,15$ poiché il prodotto è commutativo ma il passo fondamentale è quello di riuscire a scegliere la formulazione adatta. Altre scritture, corrette ma meno opportune, non riuscirebbero a mettere in evidenza una proprietà aritmetica nota fin dalla scuola primaria. Ricordiamoci che riuscire a utilizzare o trasformare scritture con lettere per esprimere in forma generale relazioni e proprietà è uno degli obiettivi della scuola secondaria di primo grado.
Il secondo quesito è il seguente:
Se aumento $A$ del $20$% e poi diminuisco il risultato del $20$% ottengo esattamente $A$? Perché?
Con alcune prove, attribuendo ad $A$ valori assegnati, si può concludere che si ottiene sempre qualcosa di minore del valore iniziale $A$, cosa che può essere motivata e compresa anche intuitivamente.
Nella secondaria di secondo grado, quando si arriva a considerare i cosiddetti prodotti notevoli, si può formalizzare questo risultato, scegliendo ovviamente la notazione più opportuna.
In questo caso se si scrive $A+20\% A$ come $A\left(1+0,2\right)$ e analogamente si scrive la diminuzione successiva come $A\left(1+0,2\right) \left(1-0,2\right)$, si può riconoscere, senza alcun conto, che si tratta del prodotto $A\left(1-0,2^{2}\right)$, che dà certamente un numero minore di $A$. Da ciò è evidente, inoltre, la generalità della situazione proposta, che dà luce alla scorrettezza di una possibile interpretazione di invarianza di $A$ nel caso descritto dal quesito.
Con questo riferimento alla scuola secondaria di secondo grado non intendo certo promuovere un’anticipazione del calcolo algebrico, piuttosto vorrei mettere in luce quanto possa essere fruttuoso, con ragazzi della secondaria di primo grado, valorizzare il più possibile momenti di discussione e condivisione delle scritture formali che pian piano saprete far nascere dalle situazioni problematiche che voi insegnanti proporrete. Ciò che saprete consolidare come atteggiamento argomentativo dei vostri alunni in questo triennio non potrà che dare loro maggiore consapevolezza nel seguito, al di là delle procedure o delle formule che avranno memorizzato.
1 A partire dal $2013$, come è noto, allo scopo di ostacolare il più possibile lo scambio di risultati fra gli studenti, i quesiti sono stati proposti in cinque fascicoli differenti, nei quali non solo era diverso l’ordine di presentazione dei vari quesiti, ma anche la collocazione della risposta corretta nei quesiti a risposta chiusa. Qui si fa riferimento al primo fascicolo. Questo problema, insieme ad altri, è stato oggetto di una sperimentazione didattica ampiamente descritta nell’articolo: R. De Virgilis, A. Pesci, I quesiti di matematica INVALSI 2013 sulle percentuali: dall’analisi degli errori al ripensamento dell’azione didattica, L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, Vol. 37B n. 2, aprile 2014, pagg. 133-158. Potete trovarvi, se siete interessati, i dettagli della sperimentazione svolta e altri quattro quesiti sulle percentuali, ampiamente esaminati e commentati.
2 Le rilevazioni nazionali sugli apprendimenti relative alle prove INVALSI $2013$ per le seconde classi di scuola secondaria di secondo grado (i risultati riportati, relativi al quesito D7, si trovano alla pag. 198) sono reperibili all’indirizzo: https://www.invalsi.it/snvpn2013/rapporti/Rapporto_SNV_PN_2013_DEF_11_07_2013.pdf.