Impareremo oggi un teorema sorprendente e divertentissimo da proporre alle classi di ogni ordine e grado, adattando la profondità della spiegazione alla classe.
Il teorema è stato dimostrato da due gruppi di matematici con due modalità diverse. Il primo gruppo diede una dimostrazione più costruttiva che non copriva tutti i casi possibili. Successivamente, il secondo gruppo diede la dimostrazione completa ma più teorica. Senza entrare nel dettaglio della dimostrazione, cominciamo a stupirci con l’enunciato.
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Teorema “Fold and One-Cut” (da J. O’Rourke, How to fold it, Cambridge Univ. Press, 2011)
Ogni figura disegnata su un foglio e composta da segmenti può essere piegata piatta in modo che un solo colpo (rettilineo) di forbici tagli tutti i segmenti che compongono la figura e nient’altro.
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In particolare, se disegniamo delle poligonali che non si sovrappongono tra loro, si può estrarle tutte insieme dal foglio dopo averlo piegato opportunamente e tagliato lungo un segmento.
Come possiamo introdurre questo risultato nelle classi mostrando la sua potenzialità?
Ecco una proposta derivata dalla mia esperienza.
Passo 1: distribuite un foglio a ciascuno studente. Lasciate che ognuno lo pieghi piatto liberamente. Ognuno dovrà poi tracciare un segmento che parta e arrivi sui bordi della carta e tagliare lungo di esso. Tutti riapriranno il foglio e osserveranno i diversi tagli prodotti. In alcuni casi verranno buchi con simmetrie, in altri tagli sulle parti più esterne dei fogli.
Figura 1. Esempi di piega e taglio libero
Passo 2: Ci si chiede ora se sia possibile trovare un modo di piegare il foglio in modo che con un solo colpo di forbici si riesca a ritagliare un preciso poligono. Iniziamo da un quadrato.
Distribuite un foglio a quadretti e fate disegnare un quadrato. Lasciate ai vostri studenti il tempo di sperimentare come piegarlo e tagliarlo per estrarre il quadrato dal foglio. In Figura 2 sono mostrate due possibili soluzioni di piegatura. Notate che in Figura 2(a) si sfruttano le diagonali del quadrato che sono anche assi di simmetria e bisettrici degli angoli al vertice; in Figura 2(b) si piegano inizialmente le mediane (assi di simmetria) e, come ultima piega, la diagonale del piccolo quadrato che si è formato.
Figura 2 (a). Estrazione del quadrato sfruttando le pieghe lungo le diagonali; (b) estrazione del quadrato sfruttando inizialmente le due mediane
Passo 3: lasciate che gli studenti sperimentino a casa come piegare e ritagliare in un solo colpo un triangolo qualsiasi e un rettangolo. Una possibile soluzione per ritagliare il rettangolo è quella di piegare a monte lungo la mediana più lunga e, successivamente, piegare le due metà dei lati corti visibili sul lato lungo visibile. Si taglia poi sul segmento dato dal lato lungo. Per il triangolo vanno invece piegate le bisettrici. La Figura 3 mostra una possibile soluzione per ognuno dei due casi. Notate come, per il triangolo, si sfruttino le bisettrici degli angoli al vertice (piegate a monte in figura) e un segmento perpendicolare a un lato e passante per l’incentro (a valle in figura).
Figura 3. Una possibile soluzione dell’estrazione del rettangolo in (a) e del triangolo in (b).
Vi suggerisco inoltre, come ho fatto io, di far vedere ai vostri studenti alcuni momenti della lezione di Erik Demaine, professore dell’MIT: sarà l’occasione per mostrare come un teorema sia interessante anche per i ricercatori e gli studenti universitari.
E infine… la zucca di Halloween!!!
Sempre sul sito di Erik Demaine, potete scaricare il crease pattern (insieme delle pieghe monte e valle) per ritagliare con un solo colpo di forbici la zucca di Halloween.
Ecco le istruzioni (seguite i passi in Figura 4), lascerete i vostri studenti a bocca aperta.
1) Stampate su foglio A3, possibilmente arancione, la figura della zucca e ritagliate l’ottagono che la delimita dal foglio. L’idea è quella di piegare ora l’ottagono perché, con un solo taglio, si riesca a creare i quattro fori di occhi, naso e bocca!
2) Essendoci una linea centrale di simmetria, piegate per prima cosa lungo di essa. La linea è tratto- punto, quindi va piegata a monte (questo permette anche di vedere le istruzioni successive).
3) Guardando una faccia del foglio e seguendo le linee stampate, cominciate a pre-piegare a monte (linea tratto-punto) o a valle (linea tratteggiata).
4) Ora viene la parte più complessa: è necessario fare collassare le pieghe simultaneamente in modo che i bordi di occhi, naso e bocca risultino alla fine allineati.
5) Infine, ecco la parte divertente: tagliate con un solo colpo di forbici e riaprite la zucca!!!
Figura 4. Illustrazione della sequenza di piega e taglio della zucca!