Molti studenti incontrano difficoltà nel comprendere i concetti di continuità, derivabilità e concavità di una funzione. L’idea che vi propongo oggi, adattabile alla Didattica Digitale Integrata anche a distanza, è quella di lavorare inizialmente sul concetto geometrico che sta alla base della formulazione analitica e che applicheremo all’unione di archi di circonferenze. Per queste curve, si può parlare di continuità, differenziabilità e concavità, rifacendosi a semplici proprietà geometriche.
Il vantaggio è quello di introdurre in modo visivo e semplice i due aspetti di regolarità, già a partire dal secondo o terzo anno delle superiori. La successiva formulazione analitica per le funzioni potrà basarsi su questa immagine concreta.
Vi suggerisco di dividere la lezione in due parti: in una prima parte i ragazzi lavoreranno con riga e compasso per costruire varie tipologie di unione di archi di circonferenze. Questa parte potrà essere anche svolta in asincrono, permettendo ai ragazzi di sperimentare da soli, e poi ripresa in modalità sincrona dall’insegnante che mostrerà possibili soluzioni usando slides o costruzioni in GeoGebra.
In una seconda parte, lavorando a gruppi o da soli, gli studenti potranno tracciare su fogli A4 o di dimensione maggiore una curva policentrica (unione regolare di archi) e rivestiranno tale curva con un sorprendente modello origami. Se l’attività verrà svolta a distanza, si potrà far caricare le foto dei lavori svolti e costruire anche un pannello finale con le creazioni dei ragazzi.
Parte 1. Gli studenti tracceranno curve rispettando le seguenti richieste:
1.Traccia due archi di circonferenza in modo tale che uno degli estremi del primo arco corrisponda a uno degli estremi del secondo arco.
2. Traccia due archi di circonferenza come nel punto 1., ma con l’ulteriore richiesta che, nel punto di contatto, abbiano la stessa retta tangente. Ricorda che la retta tangente a una circonferenza in un suo punto è perpendicolare al raggio che ha come estremo il punto stesso.
In questo caso dovranno descrivere geometricamente come hanno svolto la costruzione.
La curva tracciata è detta curva policentrica.
3. Costruisci due policentriche aventi lo stesso primo arco e i centri dei secondi archi da parti opposte rispetto alla retta tangente nel punto di raccordo.
4. Costruisci una policentrica a tre centri.
Voi docenti guiderete poi una discussione sulla regolarità delle curve costruite in 1. e 2. (continue in 1., continue e derivabili in 2.) e sui cambi di concavità di quelle costruite in 3..
In alternativa, gli studenti tracceranno unioni di archi di circonferenza in modo che la curva risultante sia solo continua o anche derivabile. In questo secondo caso, osserveranno le possibili posizioni reciproche dei centri delle circonferenze, rispetto alla tangente comune.
Parte 2. Ora gli studenti possono piegare il modello del bruco ideato da Dorota Dsziamska e la cui sequenza di piegatura è illustrata nella figura 1 (o spiegata nel video che trovate in Zona Matematica).
Potete piegare il modello insieme ai ragazzi, mostrando le pieghe in presenza o con una webcam (in caso di didattica a distanza), o lasciare loro le istruzioni. Serviranno fogli di circa $8$ cm di lato (almeno una ventina per modello).
Questo bruco ha la proprietà di essere dinamico e di potersi adattare alle varie curvature, producendo degli effetti artistici intriganti. L’immagine di copertina di questo articolo mostra come una classe lo abbia usato per rivestire le nuvole della Notte Stellata di Van Gogh.
I ragazzi potranno ora disegnare esempi di curve policentriche adattando poi il modello per rivestirle, come mostra la figura 2 (tratta dall’articolo Geometry and Origami to Make Dynamic Street Art di S. De Grandis, S. Fiore, M. L. Spreafico M. Torredimare, M. Truffa, U. Zich in Bridges 2018 Conference Proceedings).
In Zona Matematica, nell’area riservata agli origami, potete trovare l’attività completa di scheda per lo studente e video di piegatura.