La casetta, gli alberi e il laghetto: chi vale di più? Scopriamolo con gli origami!

La casetta, gli alberi e il laghetto: chi vale di più? Scopriamolo con gli origami!

Voglio stimolare oggi una discussione sul confronto tra aree, non sempre facile da eseguire “a occhio”; infatti, per noi, è più facile confrontare due lunghezze rispetto a due aree.

Con questa semplice attività i ragazzi si renderanno conto che per le aree occorre più prudenza nella valutazione “a occhio”.

Uno dei punti forti del laboratorio è che, per valutare le aree, ci baseremo su osservazioni relative agli strati di carta e non occorrerà quindi a priori conoscere le formule per il calcolo delle aree. Se poi la classe ha già introdotto le formule per il calcolo delle aree dei principali poligoni, può anche verificare con i conti ciò che è già evidente per via sintetica. Questa è anche un’occasione per mostrare che la via sintetica e quella analitica sono molte volte entrambe percorribili (spesso a scuola si tende a privilegiare la seconda forma).

I ragazzi possono lavorare a gruppi di $4$ o $5$. A ogni gruppo vanno consegnati almeno $5$ fogli quadrati, tutti congruenti, di lato circa $10$ cm; consideriamo di avere poi un altro foglio a testa da distribuire dopo la prima parte di attività.

Nel seguito io userò fogli bianchi da un lato e colorati dall’altro per mostrare più chiaramente le pieghe, ma si possono utilizzare anche quelli colorati da entrambi i lati.

Vogliamo che ogni gruppo costruisca un paesaggio, come quello mostrato nella Figura $1$.

Figura $1$: il paesaggio

Per ottenerlo, ogni studente piega uno dei fogli a disposizione seguendo queste istruzioni (illustrate in Figura $2$):

  • Foglio $1$: portare vertice su vertice opposto e piegare (la diagonale del quadrato). Si ottiene un triangolo rettangolo isoscele.
  • Foglio $2$: portare lato su lato opposto e piegare (la mediana del quadrato). Si ottiene un rettangolo. Insieme al foglio $1$ comporre una casetta.
  • Foglio $3$: piegare le due diagonali del quadrato, riaprire e portare i vertici al centro del quadrato. Otteniamo un laghetto.
  • Foglio $4$: piegare una diagonale e riaprire. Portare due lati, uscenti dal vertice dove parte la diagonale, sulla diagonale stessa. Ribaltare la figura per ottenere un albero a forma di aquilone.
  • Foglio $5$: piegare una diagonale e riaprire. Portare due lati, uscenti dal vertice dove parte la diagonale, sulla diagonale stessa. Ora nel foglio è presente un triangolo rettangolo isoscele formato da un solo strato di carta: piegarlo sull’ipotenusa. Ribaltare la figura per ottenere un albero a forma di abete.
Figura $2$: istruzioni di piega

La domanda da porre agli studenti è: sapete ordinare le figure da quella di area più piccola a quella di area più grande, senza calcolare direttamente le aree?

Lasceremo che i gruppi discutano, propongano una soluzione e la giustifichino. Potremo poi guidarli con le seguenti considerazioni:

  • La base della casa, il suo tetto e il laghetto (ottenuti con i fogli $1$, $2$ e $3$) hanno la stessa area. Infatti, il foglio di partenza è stato “diviso” in due; lo vediamo dal doppio strato di carta. Probabilmente qualcuno inizialmente può avere detto che il tetto ha un’estensione maggiore: questo è dovuto al fatto che l’occhio, leggendo meglio le lunghezze, è stato tratto in inganno dalla base del tetto (ipotenusa del triangolo).
  • L’albero ad aquilone ha area maggiore perché non in tutto il modello la carta è doppia.
  • L’abete invece è quello di area più piccola: dappertutto ha almeno doppio strato di carta, e in una sua parte addirittura triplo strato.

Quindi possiamo appendere alla lavagna la soluzione, come mostra la Figura $3$.

Figura $3$: dal piccolo al grande

Distribuiamo ora un altro foglio di carta (congruente ai precedenti) per ogni studente e chiediamo di piegare un elemento a piacere da aggiungere al paesaggio, confrontando la sua area con quella degli elementi già presenti.

Per compito, potremmo lasciare il calcolo delle aree (per l’albero a forma di aquilone si potrà consigliare di scomporlo in due triangoli; se la classe non conosce il teorema di Pitagora, utile per il calcolo di alcuni lati, lasciamo che gli studenti misurino con il righello gli elementi necessari).

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