Uno spunto per imparare a costruire semplici modelli matematici
Nelle Indicazioni Nazionali per la scuola secondaria di secondo grado, già nel $2012$, si evidenziava l’importanza della conoscenza dei modelli matematici fin dal primo biennio e dei passi fondamentali per determinare semplici modelli nell’ultimo triennio.
Potrebbe essere interessante proporre in classe una ricostruzione del semplice modello finanziario esponenziale di capitalizzazione composta, oggetto dell’articolo Quanto ti costa davvero il tuo nuovo smartphone? Un’attività tra matematica e finanza personale assieme allo sviluppo del modello lineare di capitalizzazione semplice. I due modelli possono poi essere base di rappresentazioni grafiche e riflessioni sulla dipendenza esponenziale (distinguendo i casi esponente intero e esponente razionale) e lineare. L’attività può essere inoltre un’occasione per offrire una visione delle applicazioni degli esponenziali che sminuisca l’idea di operatori lontani dalla realtà come spesso vengono considerati da studentesse e studenti.
Nel caso della capitalizzazione composta, al tasso d’interesse $i$ per periodo (e.g. annuo), l’interesse maturato nel periodo preso come unità di tempo (e.g. un anno) si somma al capitale iniziale $C$ e produce interesse nei periodi successivi, formando un nuovo capitale investito che nel tempo $t$ costituisce un montante $M$ secondo la formula:
$M=C\left( 1+i\right)^{t}$ ove $\left( 1+i\right)^{t}$ è detto fattore di accumulazione composta
Questa formula si riferisce al modello matematico che rappresenta la relazione fra il montante (capitale maturato ad un certo periodo $t$) e il tempo $t$ (variabile discreta, multiplo intero dell’unità di riferimento, e.g. un anno).
Un modello nelle arti è definito come una rappresentazione in qualsiasi materiale di un oggetto reale (esistente o da realizzare). Un modello matematico è in generale una rappresentazione, in linguaggio matematico, di un aspetto della realtà (che sia esistito o che esista o che esisterà).
La parola modello implica originariamente un cambiamento di scala nella sua rappresentazione. Attualmente, tale significato rimane nel senso che un modello matematico rappresenta un cambiamento sulla scala di astrazione: per ottenere il modello certi particolari vengono rimossi e vengono introdotte delle semplificazioni.
In Finanza si ricorre spesso a modelli matematici, prevalentemente di due tipi: deterministici e stocastici.
I modelli deterministici descrivono l’evoluzione di un fenomeno, di un’attività reale, di una situazione, in modo che, noto il valore di certe variabili di stato (rappresentative del fenomeno a un certo momento), si riesca a determinare il loro valore futuro e passato in modo univoco. I modelli deterministici sono dunque rappresentati da leggi causali, le relative condizioni iniziali determinano univocamente la loro evoluzione nel tempo.
Le caratteristiche di un fenomeno, di un’attività reale che si vuole rappresentare potrebbero invece variare in modo casuale (come le fluttuazioni in borsa dovute alla compravendita di azioni prevedibili solo in parte). Per rappresentare queste realtà si utilizzano modelli stocastici, modelli matematici che si basano su variabili casuali o aleatorie in modo da poter descrivere l’andamento della situazione in modo probabilistico.
Ricorrere a un modello significa rispettare una caratteristica peculiare, che lo rende fra l’altro estremamente versatile: trovare una relazione fra i dati iniziali e finali del problema che sia applicabile per qualsiasi valore di detti dati.
Nel costruire un modello matematico, dopo aver analizzato e selezionato le caratteristiche della situazione che interessano allo scopo, si effettua una matematizzazione associando a dette caratteristiche delle variabili e parametri matematici. Quindi, senza effettuare calcoli espliciti, si individua una relazione fra dette variabili e parametri che modellizzi la situazione reale e serva allo scopo del caso di studio.
Di solito, prima di introdurre il concetto di modello matematico, chiarisco in classe la distinzione fra parametro, variabile e costante, utilizzati nel processo di matematizzazione:
- un parametro varia di caso in caso, ma ne viene fissato il valore all’inizio del caso e rimane costante per tutto lo studio relativo;
- una variabile è un ente matematico che assume valori diversi anche durante il caso di studio;
- una costante assume sempre lo stesso valore in tutti i casi di studio.
Nella nostra rappresentazione, al capitale al tempo $t$ si associa la variabile $M$. Lo stesso tempo $t$ è da considerarsi una variabile, mentre il tasso d’interesse $i$ e il capitale iniziale sono fissati a priori per ogni caso di studio, quindi sono dei parametri.
Per far capire la versatilità dei modelli matematici che valgono per qualunque dato iniziale (in questo caso, capitale iniziale e tasso d’interesse), si potrebbe inizialmente proporre alla classe un esempio pratico. Dato un capitale iniziale e un tasso d’interesse del $10\%$ ($0,1$), dopo quanto tempo il capitale raddoppia?
Introduco la variabile ausiliaria $C_{n}$, che rappresenta il capitale all’anno $n$.
Alla fine del primo anno si avrà:
$C_{1}=C\left( 1+0,1\right) =C\cdot 1,1$
Alla fine del secondo anno si avrà:
$C_{2}=C_{1}\left( 1,1\right) =C\cdot 1,1\cdot 1,1=1,21C$
Di solito studentesse e studenti svolgono subito i calcoli specifici e iterano il procedimento fino a che il coefficiente di $C$ non sia uguale o superiore a $2$.
$C_{3}=1,1C_{2} = 1,1\cdot 1,21C=1,331C$
Vengono quindi svolti molti calcoli e molti passaggi, per perdersi in questo modo la relazione diretta fra il capitale all’anno ennesimo e l’interesse maturato negli $n$ anni, relazione a cui si giunge se non si sviluppano calcoli ma si descrivono opportunamente in senso algebrico:
$C_{2}=C_{1}\left( 1,1\right) =C\cdot 1,1\cdot 1,1=\left(1,1\right)^{2}C$
$C_{3}=1,1C_{2}=1,1\cdot \left(1,1\right)^{2}C=\left(1,1\right)^{3}C$
Da cui:
$C_{n}=\left(1,1\right)^{n}C$ $C_{n}=\left(1+0,1\right)^{n}C$ con $n\in N$
Ricordando che $0,1$ è il tasso d’interesse $i$
$C_{n}=\left(1+i\right)^{n}C$
è la relazione che modellizza la situazione ed è valida per qualunque tasso d’interesse.
Ricordiamo a studentesse e studenti che $n$ è un numero naturale, non razionale, assume quindi solo valori interi.
Possiamo allora far costruire il grafico relativo (in nero nell’immagine sottostante) e confrontarlo con quello relativo in verde) alla funzione esponenziale
$C_{n}=\left(1,1\right)^{x}C$ con $x\in R$
In generale quindi considerato come montante il capitale al tempo $t$ e $C$ il capitale iniziale, si ha la formula generale presentata nell’articolo Quanto ti costa davvero il tuo nuovo smartphone? Un’attività tra matematica e finanza personale:
$M=C\left( 1+i\right)^{t}$
Nel caso di capitalizzazione semplice, l’interesse viene sempre calcolato sul capitale iniziale: alla fine di ogni anno, l’interesse maturato non va a comporre il nuovo capitale investito; l’interesse $I$ comunque aumenta ogni anno proporzionalmente al numero di anni maturati:
$I=C_{0}\cdot i\cdot n$
$C_{n}=C_{0}+I=C_{0}+C_{0}\cdot i\cdot n=C_{0}\left( 1+i\cdot n\right)$
Sia il modello della capitalizzazione composta che della capitalizzazione semplice sono modelli deterministici: noto il tasso d’interesse e il capitale iniziale è determinato il montante a un certo tempo $t$.
Sulla base del modello esponenziale di capitalizzazione composta si possono porre in classe problemi del tipo stimolo chiuso-risposta aperta, chiedendo a studentesse e studenti di pensare a qualche altro caso di studio della realtà a cui applicare il modello esponenziale. Lo stesso modello può valere per situazioni diverse modificando la corrispondenza delle variabili e parametri matematici con altre caratteristiche reali tipiche di casi di studio diversi.
Di seguito vi propongo alcuni esempi, in cui vengono forniti alla classe solo i contesti.
1. Un costruttore di villette prevede un piano di investimento finanziario affittando gli immobili prima di venderli. Il piano prevede di affittare le villette a un certo prezzo iniziale e aumentare poi il canone del $10\%$ ogni $4$ anni fino a raddoppiare il canone iniziale. A quel punto le villette saranno poste in vendita. Per quanti anni si potranno affittare le villette?
2. Un bosco di conifere è soggetto a vincoli ambientalistici per cui chi lo possiede non può tagliare più del $5\%$ delle conifere esistenti ogni anno e non può ridurre negli anni la consistenza iniziale a meno della metà. Per quanti anni il proprietario del bosco può continuare ad abbattere alberi? (Il problema si può complicare inserendo la possibilità di piantare nuove conifere che diventano adulte in $10$ anni e quindi tagliabili a loro volta).
Questi semplici esempi vogliono solo dare un’idea della matematica che c’è dietro a strumenti che si utilizzano nella pratica finanziaria: qualche freccia in più nella faretra di noi docenti per far capire l’utilità delle relazioni matematiche e dei modelli.