Molto spesso ci imbattiamo in pubblicità che ci promettono l’automobile o il dispositivo elettronico dei nostri sogni “in comode rate” e “a interessi zero” oppure in promozioni “con TAN e TAEG straordinariamente bassi”. Cosa vuol dire esattamente “interessi zero”? Come si calcola l’importo di una rata e quanto è davvero “comoda” e “sostenibile” in un bilancio familiare? Qual è il significato degli acronimi TAN e TAEG e cosa rappresentano? Sono domande che probabilmente metterebbero le nostre alunne e i nostri alunni in difficoltà, a giudicare dai rapporti sulle competenze finanziarie nel nostro Paese1.
Con il disegno di legge Competitività del $2023$, il MIM ha inserito l’Educazione finanziaria nell’insegnamento dell’Educazione civica, indicandola come strumento di cittadinanza attiva e consapevole. Lo scopo è quello di sviluppare e promuovere, già a partire dalla scuola primaria, la capacità di maturare scelte economiche consapevoli, di attuare comportamenti di tutela del risparmio e di imparare a pianificare l’utilizzo delle risorse finanziarie in modo responsabile.
In questo articolo vi propongo un’attività coerente con le linee guida e le indicazioni operative elaborate dal Comitato per la Programmazione e il Coordinamento delle attività di Educazione finanziaria del MIM per le scuole secondarie di secondo grado (vi ricordo che novembre è il mese dell’Educazione finanziaria).
Premessa: interesse, capitalizzazione semplice e capitalizzazione composta
Iniziamo il nostro percorso sensibilizzando le ragazze e i ragazzi sul fatto che non si accede al credito soltanto quando si accende un mutuo in banca, ma anche quando si acquista a rate un elettrodomestico o un bene qualsiasi in un negozio oppure su una piattaforma online. Dopo aver chiarito le differenze (in importo, durata, finalità) tra le varie tipologie di credito, possiamo introdurre, se non è già una competenza acquisita, il concetto di interesse come somma da pagare per poter utilizzare una somma di denaro di cui non si dispone. È utile distinguere tra regime di capitalizzazione semplice e regime di capitalizzazione composta, esplorando un caso reale: l’acquisto di uno smartphone da $1000$ euro. Fissiamo il tasso di interesse annuo al $2\%$ e ipotizziamo di poter variare la durata del finanziamento, diciamo da $1$ a $10$ anni, ma di pagare, in ciascun caso, in un’unica soluzione (alla fine del periodo).
In regime di capitalizzazione semplice, dovremo corrispondere una quota di interessi pari a $20$ euro per ogni anno; in generale, la somma complessiva erogata sarà:
$M=C\left( 1+it\right)$
in cui $C$ è il capitale erogato (dalla banca o dalla società finanziaria), $i$ il tasso di interesse annuo e $t$ la durata del finanziamento in anni.
Nel caso della capitalizzazione composta, l’interesse maturato nel periodo preso come unità di tempo (e.g. un anno) si somma al capitale e produce un interesse nei periodi successivi, secondo la formula:
$M=C\left( 1+i\right)^{t}$
Limitiamoci a introdurre le due formule e lasciamo che siano le studentesse e gli studenti a trarre alcune conclusioni utilizzando il foglio di calcolo, per esempio ponendo domande di questo tipo:
- Nel caso della capitalizzazione semplice, il tasso di interesse e il tempo hanno lo stesso peso? Cosa accade se, a parità di durata del finanziamento, raddoppi $i$? E cosa accade se, fissato $i$, raddoppi $t$?
- Le risposte alle domande precedenti sono le stesse nel caso della capitalizzazione composta? Restituire un certo capitale dopo un anno con interesse al $2\%$ o dopo $2$ anni all’$1\%$ o dopo $4$ allo $0,5\%$ avrebbe lo stesso costo?
- Confronta il costo finale del finanziamento nei due regimi di capitalizzazione, al medesimo tasso $i$, in funzione del tempo. Cosa osservi?
- Considera un capitale maggiore (per esempio doppio, oppure $10$ volte maggiore di quello del caso precedente). Cosa puoi dire della differenza tra i due regimi di capitalizzazione?
L’esempio che abbiamo sviluppato finora si presta anche a sottolineare – e generalizzare – un altro punto puramente matematico. Il fattore di capitalizzazione è sempre una funzione crescente di $i$ e di $t$; tuttavia qui si riscontrano tre tipi molto diversi di crescita, che possiamo illustrare anche graficamente (e “gerarchizzare”):
- nella capitalizzazione semplice, il fattore di capitalizzazione è $f=1+it$ ed è una funzione lineare sia di $i$ che di $t$;
- nella capitalizzazione composta, il fattore di capitalizzazione è $f\left( 1+i\right)^{t}$ ed è, rispetto alla variabile $i$ (e a $t$ fissato), una funzione di tipo potenza, mentre è una funzione esponenziale rispetto a $t$ (e $i$ fissato).
I finanziamenti reali: TAN, TAE, TAEG
Nei finanziamenti reali sono indicati – per legge – due tassi: il TAN e il TAEG. Cominciamo a chiarire alle alunne e agli alunni il significato degli acronimi:
- il TAN rappresenta il Tasso Annuo Nominale; esso è il tasso di interesse “puro”, che indica il costo del denaro in un anno, ma non tiene conto della frequenza di capitalizzazione né delle spese accessorie e pertanto non riflette il costo reale del prestito, poiché esclude commissioni, spese di istruttoria, costi di incasso rata, assicurazioni o altre spese obbligatorie.
- Il TAE rappresenta il Tasso Annuo Effettivo; misura il costo effettivo del capitale in un anno, tenendo conto della frequenza di capitalizzazione degli interessi, e quindi mostra quale sarebbe il tasso “vero” se l’interesse si “accumulasse” più volte nell’anno. È sempre maggiore o uguale al TAN: maggiore se c’è capitalizzazione infrannuale, uguale solo se gli interessi si pagano una volta all’anno. Come il TAN, non tiene conto di spese accessorie extra-interesse.
- Il TAEG rappresenta il Tasso Annuo Effettivo Globale; è l’indicatore sintetico del costo complessivo di un finanziamento per il consumatore, poiché, oltre agli interessi, include le principali spese obbligatorie (istruttoria, incasso rata, assicurazioni collegate, spese di gestione pratica).
A questo punto occorrerà introdurre i concetti di tasso equivalente e periodo di rateizzazione. Nei finanziamenti reali si ha infatti a che fare con periodi di rateizzazione inferiori all’anno (per esempio mensili o bimestrali).
Due tassi sono equivalenti se producono lo stesso montante, applicati per lo stesso periodo di tempo al medesimo capitale e nello stesso regime (capitalizzazione semplice o composta). Normalmente il tasso annuo è indicato con $i$, mentre per i tassi periodali $i_{p}$ si utilizzano dei pedici che indicano il numero $p$ di periodi in un anno ($i_{2}$ è il tasso semestrale, $i_{3}$ è il tasso quadrimestrale, $i_{12}$ è il tasso mensile). Un utile esercizio algebrico è quello di far ricavare direttamente, dalla definizione, le relazioni tra $i$ e $i_{p}$, in entrambi i regimi. A questo punto possiamo chiarire che, se $i_{p}$ è il tasso relativo a un periodo (per esempio un mese, un bimestre ecc.), TAN e TAE sono i tassi annui equivalenti a $i_{p}$ calcolati, rispettivamente, in regime di capitalizzazione semplice e in regime di capitalizzazione composta. Risulta infatti:
$\text{TAN}=i_{p}\cdot p$
$\text{TAE}=\left( 1+i_{p}\right)^{p}-1$
È facile ottenere, utilizzando un foglio di calcolo, il TAN e il TAE corrispondenti a un fissato tasso periodale e viceversa. Risulta altresì evidente che $\text{TAN}\leq \text{TAE}$ essendo:
$\text{TAE}=\left( 1+\dfrac{\text{TAN}}{p}\right) ^{p}-1$
Sia il TAN che il TAE, tuttavia, rappresentano, come abbiamo detto, dei tassi di interesse puri, che tengono conto esclusivamente degli interessi sulla somma erogata, ma non delle spese accessorie, a carico del consumatore, per aprire e gestire la pratica del finanziamento, che contribuiscono al costo totale del credito ( $\text{TAN}\leq \text{TAE}\leq \text{TAEG}$). Per legge ogni operazione di credito deve espressamente indicare il TAN e il TAEG. Possiamo dunque sottolineare con la classe alcuni importanti aspetti dei finanziamenti reali:
- un finanziamento a “$\text{TAN}=0\%$” non necessariamente vuol dire che non ci siano costi aggiuntivi rispetto alla somma erogata (lo è soltanto se è anche $\text{TAEG}=0\%$);
- il credito non ha spese accessorie (oltre agli interessi) se il TAN e il TAEG risultano uguali;
- l’indicatore più utile per valutare l’effettivo costo del credito e anche per confrontare tra loro diversi finanziamenti è il TAEG.
Riprendiamo dunque il problema dell’acquisto del nostro smartphone da $1000$ euro. Supponiamo di aver trovato due diverse proposte commerciali per il finanziamento:
- Finanziamento in $12$ rate mensili con $\text{TAN}=\text{TAEG}=2\%$;
- Finanziamento in $12$ rate mensili con $\text{TAN}=2\%$, $\text{TAEG}=2,2\%$.
Stabilire qual è la proposta più conveniente dovrebbe essere immediato in questo caso, ma si potrebbe avere qualche dubbio se ci fosse anche una terza proposta con $\text{TAN}=1,8\%$ e $\text{TAEG}=2,3\%$. Potremmo anche domandarci cosa accadrebbe se cambiassimo il numero dei periodi, per esempio con rate bimestrali. Per rispondere a queste domande è necessario introdurre un ulteriore elemento: il calcolo della rata.
La rata e il costo di un credito
Per far calcolare alle nostre alunne e ai nostri alunni l’importo della rata di un finanziamento, occorrerebbe introdurre i concetti di rendita e di piano di ammortamento, che vanno oltre gli scopi della presente attività. Possiamo però utilizzare ancora una volta il foglio di calcolo per rispondere alle domande di cui sopra, dal momento che tutti i fogli di calcolo possiedono delle funzioni integrate per il calcolo della rata. Limitiamoci quindi a proporre alla classe di esplorare l’utilizzo di tale funzione, specificandone gli argomenti, ovvero il tasso $i_{p}$ di interesse del periodo (che si deduce dal TAN), il numero totale di periodi2 e il valore del finanziamento3. L’importo restituito ha normalmente segno negativo (si tratta di un flusso di cassa) e non dipende dal TAEG, cioè rappresenta la somma da versare in assenza di spese accessorie.
Come si procede invece per tener conto delle spese accessorie? Normalmente non sono note le spese accessorie, ma è dato il TAEG, che in qualche modo traduce queste spese accessorie in una percentuale, senza specificare come sono addebitate (cioè se sono pagate all’inizio, alla fine, distribuite uniformemente sulle rate ecc.). Le spese accessorie si sommano agli interessi e dunque, se fossero spalmate su tutte le rate, ne farebbero aumentare l’importo. Il calcolo dettagliato delle spese accessorie e conseguentemente della “rata effettiva” e/o del costo complessivo del finanziamento coinvolge ulteriori competenze di matematica finanziaria, che per il momento tralasciamo. Tuttavia, possiamo accontentarci di una trattazione semplificata e approssimata, nella quale ci poniamo l’obiettivo di stimare una sorta di “rata onnicomprensiva” coerente con il TAEG, che modella il finanziamento come se il cliente pagasse ogni periodo una singola rata che incorpora tutti i costi (interessi + spese). In questo modo le ragazze e i ragazzi possono avere un’idea del costo effettivo del finanziamento. A tale scopo, il primo passo è ricavare il tasso periodale implicito a partire dal TAEG. Supponendo che le rate siano mensili e la durata del finanziamento annuale (quindi $p=12$), nel caso della seconda proposta si avrebbe4:
$i^{*}_{p}=\left( 1+\text{TAEG}\right) ^{\dfrac{1}{p}}-1=\left( 1+0,022\right) ^{\dfrac{1}{12}}-1\approx 0,001815$
una formula che le nostre alunne e i nostri alunni possono facilmente inserire in un foglio di calcolo elettronico. Quindi, il calcolo della rata effettiva, compatibile con il TAEG, può essere effettuato tramite la funzione rata, utilizzando tuttavia come argomento $i^{*}_{p}$ al posto di $i^{p}$. Nel nostro esempio, i calcoli ci restituiranno il valore di $84,32$ euro (contro gli $84,24$ euro della rata “teorica” calcolata a partire dal TAN), che si tradurranno in un ulteriore costo del finanziamento pari a $0,97$ euro. La cifra trovata come spese accessorie può sembrare in questo caso irrisoria, ma è importante sottolineare che ciò accade poiché
- il TAEG è molto vicino al TAN;
- il capitale finanziato è relativamente piccolo
- la durata del prestito è breve.
Nella realtà le spese accessorie possono essere significative, soprattutto nel caso dei mutui, in cui sono in gioco capitali e durate ben maggiori.
1 Bocciati in debiti e prestiti: Italia in fondo al ranking per competenze finanziarie – Il Sole 24 ORE
Soldi, acquisti e risparmio i 15enni italiani sono sotto la media Ocse – PMI – Ansa.it
https://www.comitatoeducazionefinanziaria.gov.it/export/sites/sitopef/modules/edufin_2023/2023_Rapporto-Comitato-Edufin-2023.pdf (cfr. Tab. 9, p. 15)
2 Il numero totale di periodi (o di rate) coincide con il prodotto tra la durata del finanziamento (in anni) e il numero di periodi (o rate) in un anno.
3 Ciascun foglio di calcolo ha una propria funzione per il calcolo della rata, che si trova nella sezione delle funzioni finanziarie; occorre controllare l’ordine in cui vanno inseriti gli argomenti, che può differire a seconda dello specifico foglio di calcolo utilizzato.
4 Per finanziamenti di durata superiore a un anno, occorre tenere presente che, nella formula, $p$ deve essere il numero di periodi in un anno, non il numero di periodi totali.