Bentornate e bentornati!
Eccoci ad affrontare con nuove energie ed entusiasmo il nuovo anno scolastico.
Per conquistare le “matricole” (e non solo), ecco un’attività che potete proporre nei primi giorni di scuola, per ricominciare a parlare di matematica in modo divertente e per unire il gruppo classe.
La proposta è quella di piegare degli esagoni che potranno poi essere attaccati alla parete o a un cartellone, per creare l’alveare di classe, dove ogni studente avrà la propria “celletta” che potrà decorare, personalizzandola.
Ovviamente non mancheranno le domande matematiche. Prenderemo spunto dalla piegatura per porre domande su poligoni, simmetrie, rivestimenti del piano. Infine, costruiremo l’alveare, lasciando sospesa l’ultima domanda: perché le api scelgono l’esagono per il proprio alveare?
A questa domanda potremo rispondere anche strutturando altre attività durante l’anno, come suggerirò nel seguito.
Ma iniziamo subito dalla piegatura. Per ogni esagono, a ogni studente occorrerà un foglio A$4$ bianco o colorato. La sequenza delle pieghe è mostrata in figura 1 e spiegata subito dopo.
1. Portare lato lungo su lato lungo e riaprire.
2. Portare i due lati lunghi del foglio sulla piega centrale, ottenendo un “armadio a due ante”.
3. Portare il vertice in basso a sinistra sulla linea centrale facendo in modo che la piega passi per il vertice in basso a destra. Si sarà piegato un triangolo rettangolo $T$.
4. Aprire “l’anta a destra dell’armadio”, lasciando piegato il triangolo $T$.
5. Considerando il triangolo $T$, portare il vertice opposto al cateto più corto (vertice in basso a destra) sul vertice dell’angolo retto.
6. Chiudere ora “l’anta” di destra. Otteniamo un pentagono con due lati corti in basso.
7. Eseguire una piega che sarà di aiuto nel passaggio successivo: portare il lato obliquo corto del pentagono, in basso a sinistra, sul lato lungo a sinistra e riaprire.
8. La piega precedente incontra il lato lungo a destra in un punto, dividendo il lato in due parti: una più corta (in basso) e una più lunga. Piegare la porzione lunga del lato sulla piega eseguita in 7. Resta evidente un trapezio che presenta una linea centrale parallela alle basi.
9. Usare la piega del trapezio parallela alle basi per piegare la base minore su quella maggiore. Si evidenzierà sulla sinistra un trapezio, più piccolo rispetto al precedente.
10. Portare la base minore del trapezio del passaggio 9 sul suo lato obliquo.
11. Intascare la parte di trapezio con i due angoli retti come mostrato in figura.
12. Abbiamo ottenuto l’esagono!
Ecco ora qualche spunto per le domande di matematica (e non solo), che permetteranno di fare un “riscaldamento” dopo la pausa estiva.
A) Mentre si piega
Invitiamo gli alunni a individuare e descrivere i poligoni che si formano in alcuni passaggi. Sono interessanti, per esempio, i poligoni che si leggono nelle figure che segnalo (per le quali propongo una delle tante possibili scomposizioni):
– Figura 3: la figura grande è un trapezio rettangolo e può essere scomposto in due trapezi rettangoli e un triangolo rettangolo;
– Figura 6: la figura grande è un pentagono e può essere scomposto in due trapezi rettangoli e due triangoli equilateri;
– Figura 9: la figura grande è un ettagono e può essere scomposto in un trapezio rettangolo (che si vede sulla sinistra, senza pieghe interne) e cinque triangoli equilateri;
– Figura 12: la figura grande è un esagono regolare e può essere scomposto in due trapezi isosceli.
B) Con il modello finale
Osservando il modello finale (esagono), possiamo chiedere quanti assi di simmetria possiede. L’esagono ha $6$ assi di simmetria: le rette che passano per due vertici opposti e gli assi dei lati. Gli studenti potranno controllare direttamente piegando e controllando la perfetta sovrapposizione delle due parti di figura.
Chiediamo ora che ogni studente scelga a piacere uno degli assi e colori il modello con almeno tre colori, in modo che la colorazione rispetti la simmetria rispetto all’asse scelto. In Figura 2 è rappresentata una possibile scelta.
C) Riaprendo il modello
Riaprendo il modello si osservano le pieghe mostrate in Figura 3, che formano vari poligoni. Se volessimo rivestire il piano utilizzando copie di un solo tipo di poligono, quali potremmo scegliere? Per “rivestire” intendiamo ricoprire completamente il piano, senza sovrapposizioni tra i poligoni scelti.
Gli studenti possono piegare e riaprire più modelli, per fare scelte differenti, colorando i perimetri dei poligoni scelti. Alcuni esempi sono mostrati in Figura 4.
D) L’alveare di classe
Facciamo ora piegare a ciascuno studente un esagono colorato e componiamo poi l’alveare di classe!
E) Perché?
I matematici, e gli scienziati in generale, partono da una domanda per iniziare le loro “esplorazioni”. Ecco dunque una domanda che possiamo lasciare aperta per incuriosire gli studenti: perché le api scelgono l’esagono per le proprie celle?
Gli studenti potranno cercare autonomamente la risposta oppure possiamo successivamente riproporre il problema e sviluppare una lezione sui problemi isoperimetrici. In particolare, possiamo mostrare che:
- gli unici poligoni regolari che tassellano il piano sono i triangoli equilateri, i quadrati e gli esagoni regolari;
- tra queste figure, a parità di perimetro, l’esagono è quella che ha l’area maggiore. Quindi… a parità di cera che si utilizza per le pareti delle cellette, l’esagono conterrà più miele!
Buon anno scolastico a tutte e a tutti!
In Zona Matematica, nell’area dedicata agli origami, potete trovare una scheda da proporre alla classe e relative soluzioni.
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