L’area del cerchio in un assaggio

L’area del cerchio in un assaggio

Eccoci pronti a toccare con mano un altro po’ di geometria con due laboratori sull’area del cerchio.

Per la prima proposta serviranno carta, forbici e colla; facciamo scegliere a ciascuna studentessa e a ciascuno studente una misura $r$: servirà come misura del raggio per disegnare una circonferenza e come misura del lato per disegnare alcuni quadrati.

Chiediamo alla classe di provare a prevedere quanti di questi quadrati saranno necessari per rivestire l’area del cerchio; poi verifichiamo le ipotesi emerse facendo effettivamente foderare tutto il cerchio con la carta dei quadrati. Per un lavoro ben fatto, si deve incollare ogni pezzettino avanzato da un quadrato prima di iniziare a ritagliare il successivo; inoltre, colorando i quadrati con colori diversi, sarà più semplice tenere sotto controllo le briciole di carta che pian piano si formeranno, il numero di quadrati utilizzati ed eventuali pezzettini avanzati.

Ognuno troverà una sua tecnica per cercare di rendere il proprio rivestimento più efficiente possibile e con un po’ di sforzo tutti si accorgeranno che servono circa tre quadrati, indipendentemente dalla misura scelta e dalla strategia utilizzata, quindi:

$A=$ circa $3r^{2}$

Questo “circa $3$” è estremamente sospetto quando si parla di cerchio e circonferenza, sicuramente qualcuno comincerà ad avanzare l’ipotesi che si tratti del famoso Pi greco. Per appoggiare i sostenitori di questa causa, possiamo proporre una seconda gustosa attività per la quale dovremo sacrificare un agrume.

Tagliando una fetta d’arancia all’equatore, otteniamo un cerchio suddiviso in tanti spicchi di forma triangolare; facciamo osservare che, anche se i triangolini non sono perfettamente congruenti, le loro altezze puntano dritte al centro e rappresentano i raggi della fetta.

Ora possiamo aprire la buccia in un punto e srotolare la fetta staccando delicatamente gli spicchi; in questo modo, otterremo una fila di triangolini appoggiati sulla buccia.

Richiudendo e srotolando la fetta qualche volta, si può visualizzare che la buccia su cui sono poggiate tutte le basi degli spicchi triangolari corrisponde alla circonferenza di partenza.

In questo modo possiamo calcolare l’area della superficie “aranciosa”, sia essa dritta o arrotolata, con la formula:

$A=\dfrac{C\cdot r}{2}$

che, esprimendo per esteso la circonferenza, possiamo semplificare così: 

$A=\dfrac{2\cdot \pi \cdot r\cdot r}{2}=\pi r^{2}$

giungendo finalmente al risultato sperato.

Naturalmente, non dobbiamo dimenticare di far notare che ciò che abbiamo fatto non è una dimostrazione formale, ma solo una strategia per aiutarci a ragionare e a ricordare; facciamo anche presente che gli spicchi non sono veramente triangoli, perché hanno un lato curvo. Dopo la semplificazione necessaria a rendere più familiare il concetto, è giusto restituire la complessità e il rigore propri della matematica.

Per finire, possiamo offrire alla classe una gustosa spremuta; tra qualche anno, studentesse e studenti non si ricorderanno la formula per l’area del cerchio, ma sicuramente si ricorderanno di quella volta in cui l’insegnante aveva imbrattato tutta la cattedra per spiegare una cosa con l’arancia; la condivisione di un momento buffo e spensierato è colla per l’apprendimento.

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