Con l’avvento delle Nuove Indicazioni Nazionali per la scuola secondaria di secondo grado nel $2010$, il Ministero si preoccupò di istituire gruppi di lavoro PP&S (Problem Posing&Solving) costituiti da decine di docenti selezionati dalle varie province. L’intenzione era di maturare l’abilità di Problem Posing nei docenti ma anche pensare a una didattica che aiutasse a sviluppare questa competenza fra studentesse e studenti.
I recenti studi sulle modalità di utilizzo dell’Intelligenza Artificiale come una co-intelligenza condivisa, per un approccio costruttivo che possa aumentare le capacità di apprendimento dei fruitori, pongono l’enfasi sulla necessità di possedere capacità di Problem Posing.
In questo articolo vi propongo alcuni esempi di attività che ho proposto in classe per sviluppare in studentesse e studenti competenze di Problem Posing partendo da situazioni e approcci diversi.
Il primo esempio stimola l’analisi della lettura di un testo di un problema di geometria, la cui formulazione induce facilmente in errore nella rappresentazione grafica relativa.
Traccia una semiretta $v$ all’interno di un angolo acuto $rVs$. Prendi due punti $K$ e $K’$ su $v$.
Dimostra che i segmenti $RS$ e $R’S’$, con $R$ e $R’$ rispettivamente proiezioni di $K$ e $K’$ su $r$ e $S$ e $S’$ rispettivamente proiezioni di $K$ e $K’$ su $s$, sono paralleli.
Spesso studentesse e studenti del primo biennio pongono l’attenzione più su generici segmenti $RS$ e $R’S’$ di vertici rispettivamente punti di $r$ e $s$ che sul fatto che questi punti debbano essere proiezioni su dette semirette di $K$ e $K’$. E questi generici segmenti vengono disegnati nel modo più semplice e istintivo, rispettivamente allineati con $K$ e $K’$.
Un tipico grafico risulta essere il seguente.
Di conseguenza nessuno di essi riesce a dimostrare che $RS$ e $R’S’$ sono paralleli.
Invitiamo la classe a provare a riformulare il testo del problema in modo da favorirne un’interpretazione corretta. Di seguito vi riporto un esempio che ha generato meno errori di rappresentazione grafica e agevolato la dimostrazione relativa:
Traccia una semiretta $v$ all’interno di un angolo acuto $rVs$. Prendi due punti $K$ e $K’$ su $v$ e considera le relative proiezioni $R$ e $R’$ su $r$ e $S$ ed $S’$ su $s$.
Dimostra che le rette $RS$ e $R’S’$ sono parallele.
Richiamando invece l’esercitazione sulle percentuali proposta in un precedente articolo, dove venivano riportate sei categorie di spese natalizie in tre tabelle, ciascuna relativa a una parte del territorio nazionale (Sud, Centro e Nord), si possono stimolare studentesse e studenti a formulare tre tipi di problemi (rispettivamente di difficoltà bassa, media e avanzata) sulla base dei dati delle tabelle.
In una classe seconda e in una terza studentesse e studenti hanno completato le tabelle differenziando i dati parziali già predisposti in modo che il relativo completamento fosse facile, medio, difficile:
In altri casi, sullo spunto delle tabelle complete, studentesse e studenti hanno formulato problemi contenenti opportunamente alcuni dati e ponendo domande di comparazione e medie.
Di seguito vi riporto alcuni esempi.
Livello basso
• Data una tabella completa di dati, verifica delle percentuali di spesa per le varie categorie rispetto al totale.
• Considerati i dati relativi a una categoria (valore di spesa e percentuale) ricava il totale di spesa per tutte le categorie.
• Considerate le tre tabelle complete di valori di spesa e percentuali, la categoria Abbigliamento e Accessori ha la stessa percentuale in due parti territoriali diverse? Se sì, questo vuol dire che la spesa in euro è la stessa? Spiega.
Livello medio
• Se le spese percentuali dei giocattoli e della profumeria al sud sono le stesse e corrispondono a $625$ milioni di euro, mentre la percentuale di altre due categorie è del $10\%$ e delle rimanenti del $12\%$ e del $18\%$, quanto è stato il totale di spesa?
• Considera le tre tabelle complete. Calcola la variazione percentuale della spesa totale tra Nord e Centro. La spesa è aumentata o diminuita? Di quale percentuale? Calcola ora la variazione percentuale tra Centro e Sud. Il trend si è invertito? Commenta.
Livello avanzato
• Calcola la spesa media annua (in milioni di euro) per ciascuna categoria nei tre territori. Quale categoria presenta la media più alta? Quale è la più bassa?
• Supponi che non siano state considerate le isole Sicilia e Sardegna e che la spesa totale delle isole sia minore del $12\%$ rispetto al Centro, ma che la distribuzione percentuale sia identica. Calcola la spesa in milioni di euro per ciascuna categoria.
Questi vogliono essere solo alcuni spunti di proposte in classe per stimolare studentesse e studenti ad affrontare il Problem Posing, sarà immediato poi sfruttarle anche per il Problem Solving.
Di contro il passaggio inverso, cioè partire dal Problem Solving ed utilizzarlo per il Problem Posing, nelle usuali prassi didattiche è ben più raro.
Considero poi costruttivo l’approccio del Problem Posing anche per stimolare studentesse e studenti a esplorare liberamente più possibilità matematiche in modo creativo e soprattutto con meno paura di commettere errori (non c’è mai un unico modo di porre problemi) rispetto all’approccio di Problem Solving (che troppo spesso offre solo un corretto procedimento risolutivo).