Invece di affrettarci a completare l’intero programma prestabilito, in questi ultimi giorni di scuola potremmo focalizzarci sull’offrire a studentesse e studenti strumenti aggiuntivi importanti. Questi strumenti potranno essere utilizzati e consolidati nei prossimi anni e durante l’estate, applicandoli ai compiti di ripasso e mantenimento.
Tra le diverse difficoltà notate in studentesse e studenti, ho rilevato che spesso essi non tengono conto del fatto che il rapporto tra due grandezze, in assenza di percentuali relative note, può talvolta essere calcolato senza la necessità di determinare i singoli valori che lo compongono.
Il rapporto tra due grandezze è un concetto matematico trasversale a tutte le discipline scientifiche, ma spesso non viene acquisito: studentesse e studenti frequentemente si impuntano sul testo di un problema ritenendo che manchino dei dati essenziali per poterlo risolvere, quando le informazioni riportate nel testo sono invece complete. Da qui l’idea di sviluppare delle esercitazioni in classe che li aiutino a vedere oltre i dati espliciti.
Di seguito vi riporto due semplici esempi di geometria e un’applicazione alla fisica.
L’altezza di un rettangolo equivalente a un trapezio è $\frac{3}{4}$ di quella del trapezio. Note le basi del trapezio, rispettivamente di $12$ cm e $9$ cm, calcola la base del rettangolo.
Generalmente studentesse e studenti considerano subito la formula inversa dell’area di un rettangolo per calcolarne la base:
$b=\frac{A}{h}$
Dai dati del problema, però, non sanno come calcolare l’area $A$ né l’altezza $h$; anche considerando l’equivalenza del rettangolo con il trapezio, conoscendo solo la misura delle basi di quest’ultimo non capiscono come determinarne l’area e l’altezza.
Risulta meno evidente (e di fatto sono meno abituati a questo tipo di procedure risolutive) sfruttare le varie relazioni geometriche indicate nel testo per arrivare alla determinazione della base come svolto poi da una studentessa e da uno studente:
Questo semplice esempio può poi essere di spunto per rafforzare il concetto di famiglie di rettangoli e trapezi di basi fisse (per ogni possibile valore di altezza $R^{+}$ si ottiene una determinata coppia di figure).
Nel problema precedente si richiede di determinare il valore di un elemento preciso che spesso si ricava dal rapporto di due grandezze. Di seguito vi riporto un ulteriore esempio che richiede esplicitamente di determinare un simile rapporto.
Un rombo di diagonale minore pari a $10$ cm è equivalente a un trapezio di basi rispettivamente di $14$ cm e $8$ cm. Calcola il rapporto fra la diagonale maggiore del rombo e l’altezza del trapezio.
Questo tipo di strategie ha molteplici applicazioni nelle discipline scientifiche. In Fisica, per esempio, la quantità di calore $Q$ che emette una sorgente considerata un emettitore perfetto, a una certa temperatura $T$ in un certo intervallo di tempo $\Delta t$, è direttamente proporzionale alla sua superficie $S$, o area $A$, all’intervallo di tempo considerato e alla quarta potenza della temperatura. La costante di proporzionalità è la costante $K$ di Boltzman (pari a $5,67 \cdot 10^{-8} $ J/m$^{2}$sK$^{4}$).
Quindi la relazione tra calore $Q$ emesso e le altre grandezze suddette per un emettitore perfetto è data da:
$Q=KA\Delta t T^{4}$
Consideriamo il seguente problema.
Calcola la temperatura a cui si trova un perfetto emettitore che irradia una radiazione di intensità $I=\frac{P}{S}$ (pari al rapporto fra potenza termica e superficie) di circa $5,67$ KW/m$^{2}$.
Nell’affrontare il problema, la maggior parte di studentesse e studenti dichiara subito che non ha dati sufficienti. Pur provando a definire la potenza termica in questo modo:
La potenza termica misura la rapidità della sorgente di fornire calore, cioè la quantità di calore emesso nell’unità di tempo (ogni secondo). Quindi, data la quantità di calore $Q$ emessa in un certo intervallo di tempo $\Delta t$:
$P=\frac{Q}{\Delta t}$
studentesse e studenti dimostrano difficoltà a calcolare il valore di una grandezza quando non hanno a disposizione, o non possono calcolare, le singole grandezze da cui dipende (tutte le altre incluse nelle leggi-formule standard presenti nei libri di testo).
Sembra che si sentano rassicurati solo se iniziano a risolvere un problema calcolando il valore di una grandezza presente nella formula, anziché determinare relazioni che portino a una soluzione con calcoli finali più agevoli.
È come se, ormai abituati all’uso della calcolatrice, non prendessero nemmeno in considerazione l’eventualità che un problema complesso possa risolversi con calcoli semplici, eseguibili mentalmente.
In questo caso:
$T^{4}=\frac{Q}{KA\Delta t}=\frac{Q}{\Delta t} \cdot \frac{1}{A} \cdot \frac{1}{K}=P\cdot \frac{1}{A} \cdot \frac{1}{K}=I \cdot \frac{1}{K}=\frac{I}{K}$
Con i dati del problema diventa:
$T^{4}=\frac{5,67 \cdot 10^{3}}{5,67 \cdot 10^{-8}}=10^{11}$ K
Da questi esempi potremmo ricavare un compito per l’estate anche per noi docenti: trasformare le difficoltà delle nostre classi, spesso dovute alla consuetudine di applicare strategie standard, in nuove prassi didattiche. L’obiettivo è mettere in discussione proprio quella consuetudine acquisita che limita la creatività e la capacità di problem solving di studentesse e studenti, e che forse sopisce anche un po’ le nostre!