Spesso, durante la mia attività di insegnante, mi è capitato di riflettere sull’importanza di acquisire e padroneggiare i contenuti di base dell’algebra, di sviluppare una sensibilità numerica e, contemporaneamente, di riflettere sulla difficoltà di proporre questi contenuti, anche in lezioni meno tradizionali, che motivino maggiormente la classe.
Nella letteratura della ricerca in didattica della matematica è ormai assodata l’importanza dell’utilizzo dello storytelling nella primaria.
Nella mia esperienza, anche nella secondaria questa tecnica favorisce la motivazione nell’apprendimento della matematica e la capacità di mettere in moto e di coordinare risorse interne ed esterne per affrontare positivamente una tipologia di situazioni problematiche sfidanti. La scelta del contesto è cruciale, non estraneo all’esperienza di studentesse e studenti. La storia dovrebbe essere costruita a partire da spunti matematici insiti nella realtà in cui vivono ragazze e ragazzi.
Non è facile cogliere questi spunti, come non è banale simulare in classe una situazione problematica reale. Ma forse come insegnante già porsi il problema di cercarli, di simulare qualcosa di credibile, aumenta la possibilità di poter utilizzare anche questi strumenti, intervallandoli alle lezioni di tipo più procedurale.
A volte problemi formulati in modo matematico standard possono essere descritti mediante una storia che coinvolga maggiormente la classe, stimolando la partecipazione anche di studentesse e studenti più deboli. Senza contare che possono risultare anche utili nelle ore di sostituzione di colleghe o colleghi.
Per esempio il problema:
Una valigia a forma di parallelepipedo (larga $x$, profonda $y$ e alta $z$) ha un certo volume $V$.
Se si aumenta del $10\%$ ogni dimensione, il volume della valigia aumenta del $33\%$.
Sei d’accordo con questa affermazione? (Motiva la risposta).
può essere più efficacemente proposto in classe rimaneggiandolo all’interno di una storia che simuli una situazione problematica più vicina alla realtà di ragazze e ragazzi.
Una proposta potrebbe essere:
Luca sta andando a trovare la sorella in Olanda. In aeroporto al gate l’assistente di volo della compagnia misura le dimensioni della sua valigia e lo blocca.
“Mi dispiace ma ogni dimensione eccede del $10\%$ quelle stabilite dalla compagnia”.
Luca chiede cortesemente di essere un pochino flessibili, visto che l’eccedenza risulta di così piccola entità. Ma l’assistente di volo gli risponde che non si tratta proprio di un’eccedenza di piccola entità: infatti, spiega a Luca che se si aumenta del $10\%$ ogni dimensione, il volume della valigia aumenta del $33\%$ e la compagnia non può consentire circa un terzo in più di volume a bordo per singolo bagaglio.
Luca malvolentieri accetta di mettere il bagaglio in stiva, ma non è convinto dell’affermazione dell’assistente di volo.
Puoi aiutare Luca a convincersi che l’assistente di volo ha ragione o, viceversa, suggerirgli come dimostrare all’assistente di volo che la sua affermazione è falsa?
Si può anche sfruttare uno spunto tratto dalla realtà vicina a quella in cui vivono studentesse e studenti, come un meme del periodo della pandemia, per consolidare il concetto di multiplo e sottomultiplo di un numero, trasformando un testo descrittivo in espressione matematica letterale, ponendo attenzione all’uso delle parentesi, alla proprietà simmetrica dell’uguaglianza, alla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione, alla messa a fattor comune.
Il meme riportava un indovinello:
Proponete in classe il quesito del meme: per tutte le studentesse e gli studenti il prossimo viaggio sarà resto a casa. Provocatoriamente, voi insegnanti potreste dire che invece andrete a Ibiza. Gran parte della classe affermerà che non è possibile: potrete quindi chiedere alle vostre studentesse e ai vostri studenti di dimostrarlo, in pratica di spiegare perché, qualunque numero scelgano, il loro prossimo viaggio sarà resto a casa.
Si può decidere di lasciare lavorare le studentesse e gli studenti individualmente o in piccoli gruppi; personalmente preferisco svolgere queste attività in piccoli gruppi, per stimolare l’argomentazione e lo spirito collaborativo.
Vi consiglio inizialmente di lasciar pensare la classe senza proporre alcun suggerimento, per consentire alle studentesse e agli studenti con competenze avanzate di intuire da soli l’espressione matematica corrispondente alla sequenza di operazioni effettuate sul numero scelto descritte nel meme.
Si può quindi suggerire in un secondo momento di provare a descrivere mediante un’espressione matematica le operazioni da svolgere dopo aver scelto un numero $n$ con $1<n<9$.
L’espressione risultante dovrebbe essere:
$\left( n\cdot 3+3\right) \cdot3$
Normalmente non tutti inseriscono le parentesi o non le inseriscono al posto giusto (occasione per consolidare le regole delle espressioni).
Chiediamo allora di applicare la proprietà commutativa della moltiplicazione agli elementi all’interno della parentesi e ai due fattori dell’espressione, ottenendo:
$3\cdot\left( 3\cdot n+3\right)$
che può essere scritta come:
$3\left( 3 n+3\right)$
Ricordiamo alla classe la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione:
$a\left( b+c\right) =a\cdot b+a\cdot c$
e considerando la proprietà simmetrica della relazione di uguaglianza:
$a\cdot b+a\cdot c=a\left( b+c\right)$
otteniamo il raccoglimento a fattor comune.
Applicato alla nostra espressione:
$3\left( 3n+3\right) =3\cdot 3\left( n+1\right)=9\left( n+1\right)$
Il numero risultante, qualsiasi sia la scelta di $n$, è sicuramente un multiplo di $9$ visto che contiene il numero $9$ fra i suoi fattori (è divisibile per $9$, $9$ è un divisore del numero risultante).
Tutti i multipli di $9$ hanno la caratteristica di avere come somma delle cifre di cui sono composti sempre il numero $9$.
Perché questa caratteristica? Possiamo sfidare la classe a dimostrare anche questo.
Consideriamo $9\cdot 2$:
$9\cdot 2=9+9=9+\left( 10-1\right)$
Calcoliamo di fatto il secondo multiplo di $9$ sommando $10$ e sottraendo $1$ al numero $9$ di partenza. Sommare $10$ a un numero significa aumentare di $1$ il valore della cifra corrispondente alle decine del numero, sottrarre $1$ a un numero significa diminuire di $1$ il valore della cifra corrispondente alle unità: la cifra corrispondente alle decine aumenta di $1$ mentre la cifra corrispondente alle unità diminuisce di $1$, quindi la somma dei valori delle due cifre rimane, nel passare dal numero $9$ al suo secondo multiplo, sempre pari a $9$.
$9\cdot 2=18$ $9\cdot 3=18+9=18+\left( 10-1\right)=\left( 18+10\right)-1=28-1=27$
Indichiamo con $xy$ le due cifre componenti il secondo multiplo di $9$ e con $XY$ quelle del terzo multiplo.
Siano $s=x+y$ e $S=X+Y$, quindi, nel calcolare il terzo multiplo di $9$:
$X =x+1$
$Y=y-1$
$S=X+Y=x+1+y-1=x+y=s$
da cui
$S=s$
E così via per tutti i multipli di $9$.
Nel passaggio da un multiplo di $9$ al successivo multiplo quindi il valore della cifra delle decine aumenta di $1$ e contemporaneamente quello della cifra delle unità diminuisce di $1$ e la somma dei valori delle due cifre rimane quindi costantemente pari a $9$.
In questo articolo ho voluto solo proporvi qualche idea, fra le tante possibili, di come poter utilizzare in termini didattici degli spunti presi dalla realtà in cui vivono studentesse e studenti e come sfruttarli anche per far capire come certe proprietà matematiche abbiano una loro spiegazione rigorosa.
Spazio alla creatività matematica dunque, con un occhio alla realtà!