La derivata è uno di quegli argomenti o concetti fondamentali nel programma di Matematica, anche per le numerosissime applicazioni in vari ambiti (da quelli matematici a quelli fisici o anche a situazioni reali). Inoltre, spesso, le studentesse e gli studenti sono incuriositi da questo concetto perché lo hanno sentito tanto nominare. La definizione rigorosa come limite, per l’incremento che tende a zero, del rapporto incrementale in una funzione è interessante e anche abbastanza intuitiva; tuttavia, non sempre risulta semplice legare il concetto di derivata alle caratteristiche di crescenza e decrescenza di una funzione ma soprattutto alla velocità con cui cresce una funzione. Se da un lato appare chiara, dopo aver definito la funzione derivata, la connessione tra gli intervalli di monotonia e il segno della derivata, non sempre risulta evidente la velocità di crescita o decrescita di una funzione.
Abbiamo così cercato una funzione concreta che fosse sempre crescente ma che potesse avere intervalli in cui la crescita è più veloce ed intervalli in cui essa è più lenta. I grafici sono rappresentati nell’immagine qui di seguito.
Questa immagine è alla base dell’attività TEAL “Charlie al campo di atletica” riportata nella sezione dedicata alle attività TEAL di Area Matematica.
Per innescare la curiosità e l’apprendimento si può far ricorso alla Thinking Routine “See Think Wonder” la quale, attraverso una precisa sequenza temporale di azioni, aiuta l’osservazione analitica tentando di separarla dalle inferenze personali.
Per approfondire la Thinking Routine “See Think Wonder” potete leggere il nostro articolo “Come crescono le ninfee: introduciamo la funzione esponenziale”.
Mostriamo quindi l’immagine senza nessun commento e applichiamo la Thinking Routine da cui scaturiscono generalmente osservazioni interessanti tipo: “sono funzioni crescenti”, “hanno un andamento simile ma una rimane sempre più bassa dell’altra”, “hanno dei balzi negli stessi anni”, “è una funzione discreta che riporta valori misurati ogni $4$ anni”. Alla fine, insieme, dalla discussione emerge che si tratta di funzioni che descrivono gli andamenti dei record di salto in alto maschile e femminile in determinati anni (dal $1936$ al $2012$), deduzione coerente con le osservazioni fatte. Facciamo notare che l’aggancio sportivo ovviamente incuriosisce e funziona sempre.
Dopodiché si può fornire la scheda TEAL “Charlie al campo di atletica” che guida, attraverso tabelle e foglio di calcolo, alla costruzione della funzione degli incrementi e al disegno del suo grafico.
Interessanti sono le osservazioni che ne scaturiscono: le studentesse e gli studenti comprendono facilmente che a tratti di maggior crescita corrispondono valori più alti del grafico degli incrementi o che a tratti in cui il record rimane costante corrispondono punti dell’asse delle ascisse. Inoltre, studentesse e studenti riflettono anche sul perché il grafico non scenda mai nella zona delle ordinate negative.
Per consolidare, alla fine la scheda chiede di lavorare in modo analogo costruendo il grafico delle temperature dell’acqua di mare in un certo periodo di tempo, partendo da dati reali reperibili da questo sito.
In questo caso i grafici presentano anche intervalli di decrescenza che portano a elaborare nuove considerazioni.
In questa maniera si prova a costruire un significato profondo e ben radicato del concetto di derivata che sia svincolato dal calcolo vero e proprio.