Fin dai primi anni della scuola primaria veniamo introdotti al concetto di divisione per zero. Proseguendo negli studi secondari, questa nozione si trasforma nell’automatismo di porre il denominatore diverso da zero in ogni espressione algebrica, a prescindere dal fatto che definisca o meno una funzione.
In seguito, questo quadro si estende con l’introduzione del limite di una funzione o di una successione quando la variabile indipendente tende a un valore che annulla il denominatore. Tale limite conduce di frequente all’infinito; tuttavia, in determinate circostanze può assumere un valore finito, come accade in Fisica quando si determina il valore istantaneo di una grandezza fisica ponendo il tempo al denominatore.
Sulla base della mia esperienza didattica, i diversi passaggi nell’apprendimento in Matematica della divisione per zero rimangono spesso scollegati fra loro, subiti e frequentemente non vengono accompagnati da una riflessione che permetta di inquadrarli in un discorso più ampio che renda congruenti i vari significati, i diversi valori a cui si giunge partendo da ipotesi, esempi, applicazioni diverse.
Una riflessione che inquadri questi passaggi potrebbe essere un modo per evitare automatismi sterili nell’utilizzo di operatori matematici o applicazioni di strategie risolutive, per stimolare dei dubbi che richiedano considerazioni, ragionamenti non banali per chiarirne l’incertezza.
Per tutto il primo ciclo d’istruzione la divisione per zero si interpreta come impossibile.
Anche nella scuola secondaria di secondo grado alla domanda elementare:
Se ho $5$ caramelle e $0$ bambini è possibile distribuire le caramelle ai bambini?
È possibile suddividere le caramelle tra i bambini?
si risponde impossibile!.
Non appena si introducono gli insiemi numerici si formalizza il concetto che il numero rappresentato da una frazione avente per numeratore un valore qualsiasi diverso da $0$ e per denominatore $0$ non appartiene all’insieme dei numeri reali.
Studentesse e studenti sembrano apprezzare il tentativo di dare un’ idea di consistenza a questo valore, magari con delle narrazioni di esempi pratici:
$\dfrac{5}{0,1}=\dfrac{5}{10^{-1}}=50=5\cdot 10^{1}$
$\dfrac{5}{0,01}=\dfrac{5}{10^{-2}}=500=5\cdot 10^{2}$
$\dfrac{5}{0,001}=\dfrac{5}{10^{-3}}=5000=5\cdot 10^{3}$
$\dfrac{5}{10^{-6}}=5\cdot 10^{6}$
$\dfrac{5}{10^{-9}}=5\cdot 10^{9}$
Che cosa sta accadendo? Il denominatore diventa sempre più piccolo e il valore corrispondente della frazione sempre più grande.
Nell’ultimo esempio si ottiene un valore enorme, $5$ miliardi, quando il denominatore è piccolissimo, un miliardesimo, ma non $0$.
Un miliardesimo della popolazione mondiale sono $8$ persone e $8$ persone non sono quasi $0$.
Un miliardesimo dell’acqua di tutti gli oceani è tanta acqua da sommergere qualsiasi città costiera, è ben lontana dall’essere quasi zero.
Il denominatore sta diventando sempre più piccolo pur non essendo ancora $0$ e il valore della frazione sta diventando grandissimo.
Se (al limite) ci si avvicinasse sempre di più a $0$, il corrispondente valore della frazione diventerebbe enormemente grande, infinitamente grande e questo valore comunque non apparterrebbe all’insieme dei numeri reali.
Con l’introduzione dell’algebra si affronta il concetto di condizioni di esistenza (C.E.) di un’espressione algebrica, cioè l’insieme dei valori che possono assumere le variabili (lettere) in modo che l’espressione abbia un significato numerico nell’insieme dei numeri reali.
Nel caso di espressioni razionali fratte, detti valori si individuano proprio escludendo quelli che rendono nullo il denominatore.
Ma contemporaneamente in Fisica studentesse e studenti devono accettare l’idea che se il rapporto fra lo spazio percorso $\Delta s$ e l’intervallo di tempo impiegato per percorrerlo $\Delta t$ è pari alla velocità media: $v_{m}=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}$, se consideriamo $\Delta t$ sempre più piccolo, immaginando di ridurlo quasi a $0$, otteniamo la velocità istantanea, velocità che numericamente nella maggior parte dei casi non corrisponde a un valore infinitamente grande.
E questo lo proponiamo alle classi, dando per scontato che sia così, come se il fatto che questo valore sia un numero reale, di valore finito e spesso neanche tanto grande (perfino i treni ad alta velocità non raggiungono i ${10^{2}}$ m/s) fosse il risultato più ovvio. E giustifichiamo questo a studentesse e studenti introducendo a bruciapelo il limite di un rapporto $\dfrac{\Delta s}{\Delta t}$ pari proprio alla velocità istantanea $v_{i}$.
Ma qual è il concetto di limite che possiedono in modo naturale studentesse e studenti prima che venga affrontato in termini matematici esaustivi?
In classe abbiamo effettuato un breve brainstorming a riguardo, riportato nella foto.
È interessante che la maggior parte della classe intenda il concetto di limite come qualcosa di invalicabile, di non raggiungibile, a cui ci si avvicini comunque progressivamente solo da un lato, da valori più piccoli se quantificabile; queste credenze si trasformano facilmente in misconcezioni matematiche.
Forse allora sarebbe preferibile giustificare in modo semplice il valore reale, finito, della velocità istantanea pur calcolato con un denominatore vicino a $0$. Si potrebbe infatti spiegare che quando l’intervallo di tempo si riduce, anche lo spazio percorso durante quell’intervallo si riduce e quindi $\dfrac{\Delta s}{\Delta t}$ diventa un rapporto fra due quantità piccolissime che può corrispondere a un valore finito, neanche troppo grande, come nel seguente esempio:
$\dfrac{6\cdot 10^{-27}}{3\cdot 10^{-26}}=20$
Se, come docenti, vogliamo che studentesse e studenti credano nella Matematica, forse dovrebbero respirarne sempre la coerenza. Facciamo dunque anche noi un bel respiro come insegnanti e prepariamoci a chiarire sempre quello che affrontiamo di volta in volta e che, apparentemente, potrebbe contraddire quanto svolto precedentemente.